Imam problem u dokazivanju sledećeg stava (D.Adnađević, Z.kadelburg, Matematička analiza I, stav 6.8.9):
Neka je funkcija [inlmath]f[/inlmath] zajedno sa prvih [inlmath]n[/inlmath] izvoda neprekidna u nekoj okolini tačke [inlmath]x_0[/inlmath] i u toj okolini postoji [inlmath]f^{(n + 1)}(x)[/inlmath]. neka je pri tome
[dispmath]f''(x_0) = \cdot \cdot \cdot = f^{(n)}(x_0) = 0,\, f^{(n + 1)}(x_0) \ne 0.[/dispmath]
Ako je [inlmath]n[/inlmath] paran broj, onda je [inlmath](x_0, f(x_0))[/inlmath] prevojna tačka krive [inlmath]y = f(x)[/inlmath].
Dokaz se izvodi uz pretpostavku da je [inlmath]f^{(n +1)}(x_0) < 0[/inlmath] (za suprotnu pretpostavku dokaz je analogan, ali ja ni ovaj slučaj nisam završio). Odavde se dobija da je:
[dispmath]f^{(n + 1)}(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(x_0)}{x - x_0} = \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0}[/dispmath]
Tada je i i izraz [inlmath]\frac{f^{(n)}(x)}{x - x_0}[/inlmath] negativan, samo ako je [inlmath]x[/inlmath] dovoljno blizu [inlmath]x_0[/inlmath], ali različito od nje. Drugim rečima, za neku okolinu [inlmath]U(x_0)[/inlmath], važi [inlmath]f^{(n)}(x) > 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath], odnosno [inlmath]f^{(n)}(x) < 0[/inlmath] za [inlmath]x \in U[/inlmath] i [inlmath]x > x_0[/inlmath].
Zatim se u dokazu uzima da je [inlmath]n > 2[/inlmath] i treba napisati Tejlorovu formulu za funkciju [inlmath]f''(x)[/inlmath] u tački [inlmath]x_0[/inlmath], sa ostatkom u Lagranžovom obliku. Dobijena je sledeća formula:
[dispmath]f''(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{(n - 2)!}(x - x_0)^{(n - 2)},\, x \in U,\, c \in (x_0, x).[/dispmath]
Za ovu formulu ne mogu da shvatim kako je dobijena. Zbog čega se uzima [inlmath]c[/inlmath], ako se treba dobiti formula funkcije u tački [inlmath]x_0[/inlmath]? Ja sam dobio sledeću formulu:
[dispmath]f'(x) = f''(x_0) + \frac{(f''(x_0))'}{1!}(x - x_0) + \frac{(f''(x_0))''}{2!}(x - x_0)^2 + \cdot\cdot\cdot + \frac{(f''(x_0))^{(n - 2)}}{(n - 2)!}(x - x_0)^{n - 2} + \frac{(f''(x_0))^{(n - 1)}}{(n - 1)!}(x - x_0)^{n - 1} + \frac{(f''(x_0))^{(n)}}{n!}(x - x_0)^n + \frac{(x - x_0)^{n + 1}}{(n + 1)!}(f''(x_0 + \theta(x - x_0))^{(n + 1)} = \frac{f^{(n + 1)}(x_0)}{(n - 1)!}(x -x_0)^{n - 1} + \frac{f^{(n + 2)}(x_0)}{n!}(x -x_0)^n + \frac{(x - x_0)^{n + 1}}{(n + 1)!}f^{(n + 3)}(x_0 + \theta(x - x_0)).[/dispmath]
Nije definisano da li postoje [inlmath]n + 2[/inlmath] -i i [inlmath]n + 3[/inlmath] -i izvod u [inlmath]U(x_o)[/inlmath]. Da li su oni jednaki nuli? Molim vas, možete li mi reći gde sam pogrešio?