Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA TEJLOROV RED

Odredjivanje limesa pomocu Maklorenovog reda

[inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots[/inlmath]

Odredjivanje limesa pomocu Maklorenovog reda

Postod wolf11 » Ponedeljak, 28. Avgust 2017, 14:32

Pozdrav, imam jedan zadatak koji mi nije bas jasan u potpunosti

Odrediti:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\cos x\cdot\cos2x\cdots\cos nx-1}{x^2}[/dispmath] Krenuo sam sa razvojem ovih funkcija u Maklorenov red i tako dobijem
[dispmath]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\\
\cos2x=1-\frac{(2x)^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\\
\vdots\\
\cos nx=1-\frac{(nx)^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)[/dispmath] Onda kad sve to uvrstim dobijam sljedece
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\left(1-\frac{x^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\right)\left(1-\frac{(2x)^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\right)\cdots\left(1-\frac{(nx)^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\right)-1}{x^2}[/dispmath] E sad sljedeci korak mi nije nikako jasan.
U rjesenju pise da je ovo dalje jednako
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{2!}\cdot x^2+\sigma\left(x^3\right)-1}{x^2}[/dispmath] Nije mi jasno ovde kako oni izvuku ovaj drugi clan u brojiocu, pa ako moze neko malo da mi to pojasni kako se dodje do toga.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 28. Avgust 2017, 22:49, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa – ispravka cos u \cos
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Odredjivanje limesa pomocu Maklorenovog reda

Postod ubavic » Ponedeljak, 28. Avgust 2017, 19:27

Kad bi krenuo da razvijaš izraz
[dispmath]\left(1-\frac{x^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\right)\left(1-\frac{(2x)^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\right)\cdots\left(1-\frac{(nx)^2}{2!}+\sigma\left(x^3\right)\right )[/dispmath] primetio bi da se članovi u kojima figuriše [inlmath]x^2[/inlmath] mogu dobiti samo množenjem [inlmath]n-1[/inlmath] kečeva i jednog člana sa [inlmath]x^2[/inlmath]. Množenjem [inlmath]n[/inlmath] kečeva dobijaš tu jedinicu koja stoji na početku poslednjeg izraza kojeg si napisao. Sve ostalo može da ide u [inlmath]o\left(x^3\right)[/inlmath].
Ako i dalje nisi ubeđen, izmnoži zagrade za slučajeve [inlmath]n=2[/inlmath] ili [inlmath]n=3[/inlmath].

I da, što se tiče latexa, za trigonometrijske funkcije je bolje koristiti komande \sin, \cos, itd..
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 335 puta
Pohvaljen: 484 puta

  • +2

Re: Odredjivanje limesa pomocu Maklorenovog reda

Postod Trougao » Ponedeljak, 28. Avgust 2017, 22:50

Evo elementarnijeg nacina da se uradi zadatak:
Krecemo od [inlmath]\lim_{x\to0}\frac{\cos{x}-1}{x^2}=-\frac{1}{2}[/inlmath]
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\cos{x}\cos2x\cdots\cos{nx}-1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cos{x}\cos2x\cdots\cos{nx}-1-\cos2x\cdots\cos{nx}+\cos2x\cdots\cos{nx}}{x^2}=\\
\lim_{x\to0}\frac{\cos2x\cdots\cos{nx}(\cos{x}-1)+\cos2x\cdots\cos{nx}-1}{x^2}=\\
\lim_{x\to0}\cos2x\cdots\cos{nx}\frac{\cos{x}-1}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{\cos2x\cdots\cos{nx}-1}{x^2}[/dispmath] Sada je prvi od ova dva limesa jednak [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] a sa drugim nastavljamo proces
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\cos2x\cos3x\cdots\cos{nx}-1}{x^2}=\\
\lim_{x\to0}\frac{\cos2x\cos3x\cdots\cos{nx}-1+\cos3x\cdots\cos{nx}-\cos3x\cdots\cos{nx}}{x^2}=\\
\lim_{x\to0}\cos3x\cdots\cos{nx}\frac{\cos2x-1}{x^2}+\lim_{x\to0}\frac{\cos3x\cdots\cos{nx}-1}{x^2}[/dispmath] Sada za limes [inlmath]\lim_{x\to0}4\cdot\frac{\cos2x-1}{(2\cdot x)^2}=-1\frac{2^2}{2}[/inlmath]
Sada samo ponavljamo ovaj postupak i na kraju dobijemo
[dispmath]-\frac{1^2}{2}-\frac{2^2}{2}-\frac{3^2}{2}\cdots-\frac{n^2}{2}=-\frac{1}{2}\cdot\left(1^2+2^2+\cdots n^2\right)=\\
-\frac{1}{2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}=-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}[/dispmath]
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Odredjivanje limesa pomocu Maklorenovog reda

Postod wolf11 » Utorak, 29. Avgust 2017, 14:00

Hvala na odgovorima, jasno je cim se izmnozi mada nisam to pokusavao izgledalo mi je da me nece dovesti do rjesenja. Takodje hvala i na sugestijama za latex pridrzavacu se toga u buduce
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na TEJLOROV RED

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 10:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs