Odrediti konstante a i b

PostPoslato: Petak, 01. Septembar 2017, 15:21
od wolf11
Odrediti konstante [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] tako da je
[dispmath]\cos x-a\sin x+b\ln\left(1+x\right)-1=\sigma\left(x^3\right)\quad\left(x\to0\right)[/dispmath] Ovako sam radio:
Razvijem u Maklorenov red funkcije:
[dispmath]\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\sigma\left(x^3\right)\\
\sin x=x+\sigma\left(x^3\right)\\
\ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\sigma\left(x^3\right)[/dispmath] Kad sve uvrstim dobijem:
[dispmath]1-\frac{x^2}{2}-ax+bx-b\frac{x^2}{2}+\sigma\left(x^3\right)-1=\sigma\left(x^3\right)[/dispmath] Kad jos malo sredim dobijem:
[dispmath]x\left(b-a\right)+\frac{x^2}{2}\left(-1-b\right)=0[/dispmath] I dobijem da je [inlmath]a=b=-1[/inlmath].
Zanima me da li je postupak dobar, posto su drugacije radili, a rjesenje je dobro.

Re: Odrediti konstante a i b

PostPoslato: Subota, 02. Septembar 2017, 14:45
od Daniel
Postupak je sasvim dobar. I ja bih radio na taj način. A na koji način su oni radili?

P.S. Ako u razvoju figuriše [inlmath]\sigma\left(x^3\right)[/inlmath], onda bi trebalo u razvoj uključiti i član koji sadrži [inlmath]x^3[/inlmath], mada, koliko sam dosad video po literaturama, ima autora koji to tumače drugačije. Uostalom, da je i u ovom zadatku tako urađeno, dobio bi se nesaglasan sistem jednačina.

Re: Odrediti konstante a i b

PostPoslato: Subota, 16. Septembar 2017, 09:13
od wolf11
Izvinjavam se stvarno sto tek sad odgovaram na ovu temu, skroz sam zaboravio da sam postavio ovaj zadatak. Spremao sam tada jos dva predmeta, pokusavao da dam uslov, haos. Naime, u rjesenju je pisalo: Razvijajuci [inlmath]\cos x[/inlmath], [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\ln\left(1+x\right)[/inlmath] u Maklorenov red lako je vidjeti da je [inlmath]\cos x-a\sin x+b\ln\left(1+x\right)-1=\left(b-a\right)x-\frac{1}{2}\left(1+b\right)x^2+\frac{1}{3}\left(\frac{a}{2}+b\right)x^3+\sigma\left(x^3\right)\;\Longrightarrow\;a=b=-1[/inlmath], meni ovde nije bio jasan ovaj poslednji clan koji stoji uz [inlmath]x^3[/inlmath] ja sam nekako razumio da i on treba da spada u [inlmath]\sigma\left(x^3\right)[/inlmath]. Kao sto si ti rekao, kad se uzima i ovaj clan uz [inlmath]x^3[/inlmath] dobija se nesaglasan sistem pa mi nije bilo jasno sta da ja radim sa tim dijelom zadatka. Jer nekako mislim da ne mogu bas napisati i to i onda ne koristiti ni za sta ignorisati ga samo. Jos jednom jako se izvinjavam sto je ovoliko potrajalo dok sam odgovorio.

Re: Odrediti konstante a i b

PostPoslato: Nedelja, 17. Septembar 2017, 11:27
od Daniel
Da, definitivno je greška u njihovom rešenju, jer ako bi se [inlmath]a=b=-1[/inlmath] uvrstilo u razvoj koji su oni napisali, dobilo bi se da je taj razvoj jednak [inlmath]-\frac{x^3}{2}+\sigma\left(x^3\right)[/inlmath], a po uslovu zadatka treba da bude jednak samo [inlmath]\sigma\left(x^3\right)[/inlmath].