Ma, mislim da si nepotrebno napravio bauka od tog razvoja.
Pogotovo ovde razvoj ne bi trebalo da bude nikakav problem, jer se razvija samo do [inlmath]t^1[/inlmath], budući da nam je Peanov ostatak [inlmath]\sigma(t)[/inlmath] (nakon smene [inlmath]y=-\frac{1}{x}[/inlmath]).
Ajd časkom da uradimo i tako. S pomenutom smenom, zadati izraz postaje [inlmath]y=\frac{1}{t}\sqrt{1+t^2}-\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)[/inlmath], a treba ga napisati u obliku [inlmath]y=-\frac{a}{t}+b-ct+\sigma\left(t\right)[/inlmath].
U prvom sabirku [inlmath]\sqrt{1+t^2}[/inlmath] razvijamo do [inlmath]t^2[/inlmath], jer se posle to deli sa [inlmath]t[/inlmath], nakon čega će to postati razvoj do [inlmath]t^1[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{1+t^2}=\left(1+t^2\right)^{1/2}=1+\frac{1}{2}t^2+\sigma\left(t^2\right)[/dispmath] Kad je u pitanju [inlmath]\sqrt{1+t^2}[/inlmath] koji se nalazi unutar logaritma, njega ne moramo dalje od [inlmath]t^1[/inlmath], jer se nakon razvoja samog logaritma neće smanjivati stepeni u dotadašnjem razvoju. Znači:
[dispmath]\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)=\ln\bigl(1+\sigma(t)-t\bigr)=-t+\sigma(t)[/dispmath] I, ceo zadati izraz postaje:
[dispmath]\begin{align}
y&=\frac{1}{t}\sqrt{1+t^2}-\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)\\
&=\frac{1}{t}\left(1+\frac{1}{2}t^2+\sigma\left(t^2\right)\right)-\bigl(-t+\sigma(t)\bigr)\\
&=\frac{1}{t}+\frac{1}{2}t+t+\sigma(t)\\
&=\frac{1}{t}+\frac{3}{2}t+\sigma(t)
\end{align}[/dispmath] odakle se, upoređivanjem s [inlmath]y=-\frac{a}{t}+b-ct+\sigma\left(t\right)[/inlmath], lako odrede [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Trougao je napisao:Jedini razlog zasto bih to radio je sto se i dalje posle 2 polozene analize na matfu ne bih usudio da razvijam [inlmath]-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)[/inlmath].
Zavisi do kog stepena ga razvijaš. Ako radimo razvoj samo za potrebe računanja limesa, kao što je ovde slučaj, onda je taj postupak čak i jednostavniji od svođenja na [inlmath]e[/inlmath] (način koji sam ja pokazao) ili preko Lopitala (način koji si ti pokazao).
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left[-x\ln\left(\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}\right)\right]\overset{-\frac{1}{x}=t}{=\!=\!=\!=\!=}\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}\ln\left(\sqrt{1+t^2}-t\right)\right]=[/dispmath] Ovaj logaritam sigurno nema potrebe razvijati do [inlmath]t^2[/inlmath], jer će [inlmath]t^2[/inlmath], [inlmath]t^3[/inlmath], [inlmath]t^4[/inlmath] i viši stepeni, nakon množenja sa [inlmath]\frac{1}{t}[/inlmath] ispred logaritma, dati [inlmath]t[/inlmath], [inlmath]t^2[/inlmath], [inlmath]t^3[/inlmath] itd. koji svi teže nuli. Znači, dovoljno je razviti samo do [inlmath]t[/inlmath].
[dispmath]=\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}\ln\bigl(1+\sigma(t)-t\bigr)\right]=\lim_{t\to0^+}\left[\frac{1}{t}\bigl(-t+\sigma(t)\bigr)\right]=-1[/dispmath] Eto, sasvim jednostavno.