Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA TEJLOROV RED

Razvoj funkcije u Maklorenov red

[inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots[/inlmath]

Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod PocetnikSRB » Četvrtak, 17. Oktobar 2013, 18:16

Dobro vece! :) Reko' da ne gomilam vise ovu temu.

Kako bi se ova f-ja mogla razviti u Maklorenov razvoj?
[dispmath]f(x)=\ln\left(2-x-x^2\right)[/dispmath]
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 101
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod Daniel » Petak, 18. Oktobar 2013, 00:30

Dobro veče! :) Da bismo razvili funkciju u Maklorenov red, moramo, naravno, prvo odrediti njene izvode.
Prvi izvod:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1}{2-x-x^2}\cdot\left(-1-2x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x-2}[/dispmath]
Radi nalaženja daljih izvoda, izraz koji smo dobili za prvi izvod najpogodnije je rastaviti na parcijalne razlomke:
[dispmath]\frac{2x+1}{x^2+x-2}=\frac{2x+1}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}=\frac{A\left(x-1\right)+B\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\frac{Ax-A+Bx+2B}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\\
=\frac{\left(A+B\right)x+\left(-A+2B\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A+B=2\\
-A+2B=1
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A=1\\
B=1
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\frac{2x+1}{x^2+x-2}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1}[/dispmath]
I, traženje narednih izvoda je sada luk & voda: :)
[dispmath]f''\left(x\right)=\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1}\right)'=-\frac{1}{\left(x+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\\
f'''\left(x\right)=\left[-\frac{1}{\left(x+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\right]'=\frac{2}{\left(x+2\right)^3}+\frac{2}{\left(x-1\right)^3}\\
f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\left[\frac{2}{\left(x+2\right)^3}+\frac{2}{\left(x-1\right)^3}\right]'=-\frac{2\cdot3}{\left(x+2\right)^4}-\frac{2\cdot3}{\left(x-1\right)^4}\\
f^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left[-\frac{2\cdot3}{\left(x+2\right)^4}-\frac{2\cdot3}{\left(x-1\right)^4}\right]'=\frac{2\cdot3\cdot4}{\left(x+2\right)^5}+\frac{2\cdot3\cdot4}{\left(x-1\right)^5}\\
\vdots[/dispmath]
I, iz ovoga već možemo izvući pravilnost na osnovu koje pišemo formulu za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!\left[\frac{1}{\left(x+2\right)^n}+\frac{1}{\left(x-1\right)^n}\right][/dispmath]
a pošto su nam za Maklorenov red potrebni izvodi u nuli, sada možemo i njih odrediti:
[dispmath]f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!\left[\frac{1}{2^n}+\frac{1}{\left(-1\right)^n}\right][/dispmath]
Malo sredimo taj izraz...
[dispmath]f^{\left(n\right)}\left(0\right)=-\left(-1\right)^n\left(n-1\right)!\left[\frac{1}{2^n}+\frac{1}{\left(-1\right)^n}\right]\\
f^{\left(n\right)}\left(0\right)=-\left(n-1\right)!\left[\frac{\left(-1\right)^n}{2^n}+\frac{\cancel{\left(-1\right)^n}}{\cancel{\left(-1\right)^n}}\right]\\
f^{\left(n\right)}\left(0\right)=-\left(n-1\right)!\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1\right][/dispmath]
Očigledno je da u ovom izrazu, zbog faktora [inlmath]\left(n-1\right)![/inlmath], mora biti [inlmath]n\ge1[/inlmath].

Sada je potrebno da ovaj dobijeni izraz uvrstimo u formulu za Maklorenov red, koja glasi
[dispmath]f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^n[/dispmath]
Ali, pošto je, kako rekosmo, potrebno da u formuli za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod bude [inlmath]n\ge1[/inlmath], prethodni izraz ćemo napisati u sledećem obliku:
[dispmath]f\left(x\right)=f\left(0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^n[/dispmath]
i onda možemo uvrstiti izraz za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]f\left(x\right)=f\left(0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{-\left(n-1\right)!\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1\right]}{n!}x^n\\
f\left(x\right)=\ln\left(2-x-x^2\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(0\right)=\ln2\\
f\left(x\right)=\ln2+\sum_{n=1}^\infty\frac{-\cancel{\left(n-1\right)!}\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1\right]}{n\cancel{\left(n-1\right)!}}x^n\\
f\left(x\right)=\ln2-\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1}{n}x^n[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod PocetnikSRB » Petak, 18. Oktobar 2013, 00:43

Jos jednom se zahvaljujem mnogo! :)
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 101
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod Sveta » Nedelja, 05. April 2015, 13:37

:thumbup: Moze li mi neko pokazati kako da razvijem u Maklorenov polinom i odredim limes
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{arctg}\left(e^x-1\right)-2\sqrt{1+x}+2}{1-\cos x}[/dispmath]
Sveta  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 4 puta

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod Daniel » Nedelja, 05. April 2015, 19:02

Svaku od funkcija u ovom izrazu razviješ u Maklorenov polinom do potrebne tačnosti, a kad to učiniš, uvrstiš nule umesto [inlmath]x[/inlmath]-ova i dobićeš traženi limes.

Znači, funkciju [inlmath]\mathrm{arctg}\left(e^x-1\right)[/inlmath] zameniš njenim Maklorenovim polinomom, isto tako i funkciju [inlmath]\sqrt{1+x}[/inlmath], isto tako i funkciju [inlmath]\cos x[/inlmath].

U prethodnom postu u ovoj temi opisao sam postupak razvoja funkcije u Maklorenov red, pročitaj ga i pitaj ako ti nešto konkretno ne bude jasno. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta

  • +1

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod desideri » Nedelja, 05. April 2015, 19:12

Dobro došao na forum :)
Neophodan nam je i tvoj komentar nakon uputstava koje ti je dao Daniel.

Kao moderator foruma, obavezan sam da ti ukažem na Pravilnik foruma "Matemanija" koji imaš odmah na index stranici:

Tačka 6. Uz zadatak za koji tražite pomoć obavezno ostavite propratni komentar!
Napišite šta ste sve pokušali kako biste zadatak rešili, a poželjno je da priložite i svoj postupak, makar i pogrešan. U slučaju da ne znate ni kako da krenete sa zadatkom pa tražite samo početnu ideju – obavezno tako i naglasite. Ako Vam samo neki deo zadatka pravi problem – napišite koji je to tačno deo. Na ovaj način, štedite vreme i trud onima koji žele da Vam pomognu. Postavljeni zadaci bez ikakvih propratnih komentara biće shvaćeni kao Vaš pokušaj da, bez imalo uloženog truda, dobijete rešenja „na tacni“ – što, definitivno, nije smisao ovog foruma – i takvi postovi biće uklonjeni.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1516
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1087 puta
Pohvaljen: 836 puta

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod Sveta » Nedelja, 05. April 2015, 21:10

:thumbup: :thumbup: :thumbup: Najpre da se zahvalim na odgovoru i izvinjenje zbog neiskustva u svemu ovome. Ovo je zaistda odlican forum i vrlo koristan, pa se jos jednom zahvaljujem.
:think1: Napisaću, zapravo pokušaću, šta sam uradio i da li je to ok, s obzirom da sam pisao nešto u TeXu a u Latex videću....
Najpre razvoji datih funcija
[dispmath]e^x=1+x+o(x)[/dispmath][dispmath]e^x-1=x+o(x)[/dispmath][dispmath]\mathrm{arctg}\:x=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+o\left(x^5\right)[/dispmath][dispmath]\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+o(x)[/dispmath][dispmath]\mathrm{arctg}\left(e^x-1\right)=\mathrm{arctg}\big(x+o(x)\big)=x+o(x)-\frac{1}{3}\big(x+o(x)\big)^3+o\left(x^3\right)=\cdots=x+x^2+o\left(x^2\right)[/dispmath][dispmath]1-\cos{x}=1-\left(1-\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)\right)=\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)[/dispmath]
Kad se sve ovo uvrsti u trazeni limes dobijamo :
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{arctg}\left(e^x-1\right)-2\sqrt{1+x}+2}{1-\cos x}=\frac{x+x^2+o\left(x^2\right)-2\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right)+2}{\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{x+x^2+o\left(x^2\right)-2-x+o(x)+2}{\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{x^2+o\left(x^2\right)}{\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)}[/dispmath][dispmath]=2[/dispmath]
e sad, samo da je ovo OK? : :unsure:
Sveta  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 4 puta

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod Daniel » Nedelja, 05. April 2015, 22:04

Pre svega, hvala na zaista lepim rečima za forum. :) I, da, dobrodošlica i od mene, svakako. :)

Rezultat nije tačan, a evo i zbog čega:
Sveta je napisao:[dispmath]e^x=1+x+o(x)[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+o(x)[/dispmath]

Razvoj u Maklorenov red odradio si s nedovoljnom preciznošću. Pošto se u kranjem rezultatu krate sabirci sa [inlmath]x[/inlmath] i ostaju samo sabirci koji sadrže [inlmath]x^2[/inlmath], neophodno je razvoj vršiti do članova sa [inlmath]x^2[/inlmath]. Znači,
[dispmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)[/dispmath][dispmath]\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o\left(x^2\right)[/dispmath]
Razvoj [inlmath]1-\cos x[/inlmath] si ispravno odradio.

S ovom korekcijom, dobićeš tačan rezultat, koji iznosi [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7285
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta

Re: Razvoj funkcije u Maklorenov red

Postod Sveta » Ponedeljak, 06. April 2015, 08:00

:thumbup: Sad je u redu. Hvala Vam, mnogo ste pomogli. :D pa mogu mirno da :sleeping-sleep:
Sveta  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 11 puta
Pohvaljen: 4 puta


Povratak na TEJLOROV RED

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 09:14 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs