Dobro veče!
Da bismo razvili funkciju u Maklorenov red, moramo, naravno, prvo odrediti njene izvode.
Prvi izvod:
[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1}{2-x-x^2}\cdot\left(-1-2x\right)=\frac{2x+1}{x^2+x-2}[/dispmath]
Radi nalaženja daljih izvoda, izraz koji smo dobili za prvi izvod najpogodnije je rastaviti na parcijalne razlomke:
[dispmath]\frac{2x+1}{x^2+x-2}=\frac{2x+1}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}=\frac{A\left(x-1\right)+B\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\frac{Ax-A+Bx+2B}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\\
=\frac{\left(A+B\right)x+\left(-A+2B\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A+B=2\\
-A+2B=1
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A=1\\
B=1
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\frac{2x+1}{x^2+x-2}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1}[/dispmath]
I, traženje narednih izvoda je sada luk & voda:
[dispmath]f''\left(x\right)=\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-1}\right)'=-\frac{1}{\left(x+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\\
f'''\left(x\right)=\left[-\frac{1}{\left(x+2\right)^2}-\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\right]'=\frac{2}{\left(x+2\right)^3}+\frac{2}{\left(x-1\right)^3}\\
f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\left[\frac{2}{\left(x+2\right)^3}+\frac{2}{\left(x-1\right)^3}\right]'=-\frac{2\cdot3}{\left(x+2\right)^4}-\frac{2\cdot3}{\left(x-1\right)^4}\\
f^{\left(5\right)}\left(x\right)=\left[-\frac{2\cdot3}{\left(x+2\right)^4}-\frac{2\cdot3}{\left(x-1\right)^4}\right]'=\frac{2\cdot3\cdot4}{\left(x+2\right)^5}+\frac{2\cdot3\cdot4}{\left(x-1\right)^5}\\
\vdots[/dispmath]
I, iz ovoga već možemo izvući pravilnost na osnovu koje pišemo formulu za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!\left[\frac{1}{\left(x+2\right)^n}+\frac{1}{\left(x-1\right)^n}\right][/dispmath]
a pošto su nam za Maklorenov red potrebni izvodi u nuli, sada možemo i njih odrediti:
[dispmath]f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!\left[\frac{1}{2^n}+\frac{1}{\left(-1\right)^n}\right][/dispmath]
Malo sredimo taj izraz...
[dispmath]f^{\left(n\right)}\left(0\right)=-\left(-1\right)^n\left(n-1\right)!\left[\frac{1}{2^n}+\frac{1}{\left(-1\right)^n}\right]\\
f^{\left(n\right)}\left(0\right)=-\left(n-1\right)!\left[\frac{\left(-1\right)^n}{2^n}+\frac{\cancel{\left(-1\right)^n}}{\cancel{\left(-1\right)^n}}\right]\\
f^{\left(n\right)}\left(0\right)=-\left(n-1\right)!\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1\right][/dispmath]
Očigledno je da u ovom izrazu, zbog faktora [inlmath]\left(n-1\right)![/inlmath], mora biti [inlmath]n\ge1[/inlmath].
Sada je potrebno da ovaj dobijeni izraz uvrstimo u formulu za Maklorenov red, koja glasi
[dispmath]f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^n[/dispmath]
Ali, pošto je, kako rekosmo, potrebno da u formuli za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod bude [inlmath]n\ge1[/inlmath], prethodni izraz ćemo napisati u sledećem obliku:
[dispmath]f\left(x\right)=f\left(0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^n[/dispmath]
i onda možemo uvrstiti izraz za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]f\left(x\right)=f\left(0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{-\left(n-1\right)!\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1\right]}{n!}x^n\\
f\left(x\right)=\ln\left(2-x-x^2\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(0\right)=\ln2\\
f\left(x\right)=\ln2+\sum_{n=1}^\infty\frac{-\cancel{\left(n-1\right)!}\left[\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1\right]}{n\cancel{\left(n-1\right)!}}x^n\\
f\left(x\right)=\ln2-\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^n+1}{n}x^n[/dispmath]