Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Implicitna funkcija data sistemom jednacina

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Implicitna funkcija data sistemom jednacina

Postod pecke91 » Subota, 24. Februar 2018, 14:03

Ovako imam jedan zadatak koji kaze

Napisati teoremu o implicitnoj funkciji definisane sistemom jednacina i na osnovu toga odrediti jednacinu oskulaturne (valjda sam lepo napisao) ravni krive
[inlmath]\begin{cases} x^2+y^2+z^2-9=0\\ x^2-y^2-3=0 \end{cases}\quad[/inlmath] za [inlmath]M(2,1,2)[/inlmath]


Teorema:
Neka su funkcije [inlmath]F_1(\mathbf{x,y}),\ldots,F_m(\mathbf{x,y})[/inlmath] diferencijabilne u okolini tacke [inlmath](\mathbf{a,b})=(a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_m)[/inlmath] u kojoj su neprekidni parcijalni izvodi
[inlmath]\frac{\partial F_j}{\partial y_k}(x,y),\;(j,k=1,\ldots,m,)[/inlmath], pri cemu je

[inlmath]\begin{vmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_1}{\partial y_2}(a,b) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(a,b)\\
\frac{\partial F_2}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_2}{\partial y_2}(a,b) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(a,b)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_m}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_m}{\partial y_2}(a,b) & \cdots &\frac{\partial F_m}{\partial y_m}(a,b)
\end{vmatrix}\neq0[/inlmath]

i [inlmath]F_1(\mathbf{x,y}),\ldots,F_m(\mathbf{x,y})=0[/inlmath]. Tada postoji okolina tacke [inlmath](a,b)[/inlmath] u kojoj sistem [inlmath]F_k(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)=0,\;(k=1,\ldots,m)[/inlmath] definise jedinstvenu implicitnu funkciju
[inlmath]\mathbf{y}=\bigl(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})\bigr),[/inlmath] takvu da je [inlmath]\mathbf{b}=\bigl(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})\bigr).[/inlmath] Pritom su [inlmath]f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})[/inlmath] diferencijabilne funkcije, a u okolini tacke [inlmath]a[/inlmath] parcijalni izvodi [inlmath]\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\;(j=1,\ldots,m;\;k=1,\ldots,n)[/inlmath]
predstavljaju jedinstveno resenje sistema algebarskih jednacina

[inlmath]\sum\limits_{k=1}^m\frac{\partial F_j}{\partial y_k}(\mathbf{x,y})\frac{\partial f_k}{\partial x_i}(\mathbf{x})=-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}(\mathbf{x,y});\;(j=1,\ldots,m;\;i=1,\ldots,n)[/inlmath]

ako neko moze malo da mi pojasni ovu teoremu i kako je primeniti na dati zadatak? hvala unapred
pecke91  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Implicitna funkcija data sistemom jednacina

Postod ubavic » Subota, 24. Februar 2018, 21:39

Pretpostavke koje si naveo u teoremi nisu dovoljne za garantovanje parcijalnih izvoda funkcije [inlmath]f[/inlmath]. Potrebno je još i pretpostaviti da je parcijalni diferencijal [inlmath]\mathrm d_{\mathbf x}F[/inlmath] definisan i da su svi njegovi elementi neprekidni. Sa ovom pretpostavkom važiće [inlmath]\mathrm d_{\mathbf y}F(\mathbf x,\mathbf y)\;\mathrm df(\mathbf x)=-\mathrm d_{\mathbf x}F(\mathbf x,\mathbf y)[/inlmath] (to je upravo ovo što si ti naveo na samom kraju).

Takođe, ako [inlmath]F=(F_1,\dots,F_n)\in C^p[/inlmath] tada i [inlmath]f=(f_1,\dots,f_n)\in C^p[/inlmath]. (Naravno, domeni ovih funkcija su različiti, pa su i odgovarajuće klase različite, ali neću sad da uvodim nove oznake.)

Možda bi najbolje pojašnjenje ove teoreme bila baš primena na ovaj zadatak, a preporučujem ti da i sam u literaturi potražiš motivaciju za ovu teoremu. Takođe, pogledaj i jednostavniji oblik ove teoreme, koji se odnosi na implicitne funkcije sa realnim vrednostima (u tom slučaju nećemo imati više sisteme funkcija već jednu funkciju).

Neka je [inlmath]F_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9[/inlmath] i [inlmath]F_2(x,y,z)=x^2-y^2-3[/inlmath]. Tada je skup [inlmath]A_1=\{v\in\mathbb{R}^3\mid F_1(v)=0\}[/inlmath] sfera a skup [inlmath]A_2=\{v\in\mathbb{R}^3\mid F_2(v)=0\}[/inlmath] hiperbolički cilindar. Presek ova dva skupa su dve "iskrivljene elipse" (skiciraj ovo ako ti nije jasno). Prilikom refleksije u odnosu na ravan [inlmath]x=0[/inlmath] ove dve "elipse" se slikaju jedna na drugu. Takođe, svaka od "elipsa" se slika na samu sebe prilikom refleksija u odnosu na ravni [inlmath]y=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath]. Zbog toga ne možemo na jedinstven način odrediti neku funkciju koja bi definisala ove dve "elipse".

Tačka [inlmath]M(2,1,2)[/inlmath] pripada jednoj od ove dve "elipse", tj [inlmath]F_1(M)=0[/inlmath] i [inlmath]F_2(M)=0[/inlmath]. Ova teorema nam garantuje da, ako su zadovoljeni i ostali uslovi, u nekoj okolini [inlmath]U\times V\times W[/inlmath] tačke [inlmath]M[/inlmath] postoji funkcija [inlmath]f\colon U\to V\times W[/inlmath] takva da je [inlmath]f(2)=(1,2)[/inlmath] i važi [inlmath]F_1(x,f(x))=0[/inlmath] i [inlmath]F_2(x,f(x))=0[/inlmath] za [inlmath]x\in U[/inlmath]. Pritom su [inlmath]U,V[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] neki intervali u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] koji odgovaraju koordinatama [inlmath]x,y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath].

Mala napomena, kako imamo dva uslova (funkcije [inlmath]F_1[/inlmath] i [inlmath]F_2[/inlmath]), po teoremi, moramo definisati funkciju [inlmath]f[/inlmath] iz [inlmath]U[/inlmath] na [inlmath]V\times W[/inlmath], a ne iz [inlmath]U\times V[/inlmath] na [inlmath]W[/inlmath]. Intuitivno objašnjenje ovoga bi išlo ovako nekako: ovde radimo sa nekom "krivom" koja ima samo jedan stepen slobode kretanja (grubo rečeno na njoj možeš ići samo napred-nazad). Ako bismo hteli da [inlmath]f[/inlmath] slika iz [inlmath]U\times V[/inlmath] u [inlmath]W[/inlmath] tada bismo imali dva stepena slobode, pa bismo dobili neku površ...

Tebi ostavljam da da proveriš da parcijalni diferencijal
[dispmath]\mathrm d_{\mathbf y}F(x,y,z)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z)\\
\frac{\partial F_2}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial F_2}{\partial z}(x,y,z)\\
\end{bmatrix}[/dispmath] ima determinantu različitu od nule u tački [inlmath]M[/inlmath], kao i da je parcijalni diferencijal
[dispmath]\mathrm d_{\mathbf x}F(x,y,z)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x}(x,y,z)\\
\frac{\partial F_2}{\partial x}(x,y,z)
\end{bmatrix}[/dispmath] definisan sa neprekidnim elementima.

Kada sve to sračunaš lako ćeš naći i [inlmath]f_1'=\partial f_1/\partial x\:(x)[/inlmath] i [inlmath]f_2'=\partial f_2/\partial x\:(x)[/inlmath] rešavajući sistem zadat sa [inlmath]\mathrm d_{\mathbf y}F(\mathbf x,\mathbf y)\;\mathrm df(\mathbf x)=-\mathrm d_{\mathbf x}F(\mathbf x,\mathbf y)[/inlmath]. Kao što vidiš u pitanju su obični izvodi funkcije jedne promenljive.

Sada znamo da u okolini tačke [inlmath]M[/inlmath] zaista imamo krivu koja je definisana funkcijom [inlmath]\alpha\colon x\mapsto(x,f_1(x),f_2(x))[/inlmath]. Mi na osnovu teoreme ne znamo koje su to tačno funkcije, ali nam to za ovaj zadatak nije ni bitno. Dovoljno je znati da je [inlmath]\vec\tau=\alpha'(x)/\|\alpha'(x)\|=(1,f_1'(x),f_2'(x))/\|\alpha'(x)\|[/inlmath] i [inlmath]\vec\nu=\alpha''(x)/\|\alpha''(x)\|=(0,f_1''(x),f_2''(x))/\|\alpha''(x)\|[/inlmath] u okolini tačke [inlmath]M[/inlmath].

Vektor [inlmath]\vec\beta=\vec\tau\times\vec\nu[/inlmath] je normalan na oskulatornu ravan. To ti je sasvim dovoljno da odrediš oskulatornu ravan.

A ovako izgleda ovaj presek. Na slici je obeležen i tangentni vektor iz tačke [inlmath]M[/inlmath].

sfera.gif
Presek sfere i hiperboličkog cilindra
sfera.gif (10.7 KiB) Pogledano 142 puta
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 492
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 328 puta
Pohvaljen: 473 puta

Re: Implicitna funkcija data sistemom jednacina

Postod pecke91 » Utorak, 13. Mart 2018, 01:22

da li je ovo moglo ovako da se odradi? Nadam se da negde nisam samo pogresio u tumacenju svega ako neko moze da baci pogled?

Imam funkcije i tacku [inlmath]M(2,1,2)[/inlmath]
[dispmath]F(x,y,z)\equiv x^2+y^2+z^2-9=0\\
G(x,y,z)\equiv x^2-y^2-3=0[/dispmath] Pa kada odradim njihove parcijelne izvode direktno dobijem
[dispmath]2x+2y\cdot y'+2z\cdot z'=0\\
2x-2y\cdot y'=0[/dispmath] kako je [inlmath]\vec{r}=\bigl(x,y(x),z(x)\bigr)\\
\vec{r'}=(1,y',z'):\vec{t}[/inlmath]

znaci treba mi [inlmath]y'(2)[/inlmath] i [inlmath]z'(2)[/inlmath]

pa ako iz [inlmath]2x-2y\cdot y'=0[/inlmath] sledi [inlmath]y'=\frac{x}{y}[/inlmath] i kada zamenimo iz tacke [inlmath]M[/inlmath] ubacim [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koordinatu bice [inlmath]y'=\frac{x}{y}=\frac{2}{1}=2[/inlmath]

pa kada [inlmath]y'[/inlmath] zamenim u [inlmath]2x+2y\cdot y'+2z\cdot z'=0[/inlmath] i ubacim koordinate tacke [inlmath]M[/inlmath] bice [inlmath]2+1\cdot2+2\cdot z'=0\;\Longrightarrow\;z'=-2[/inlmath]

Nisam siguran da sam ovo dobro odradio

pa sledi da je vektor tangente [inlmath]\vec{r'}=(1,2,-2)[/inlmath]

pa dalje trazim druge parcijalne izvode isto direktno pa bice
[dispmath]1+\left(y'\right)^2+y\cdot y''+\left(z'\right)^2+z\cdot z''=0\\
1-\left(y'\right)^2-y\cdot y''=0[/dispmath] pa opet istom metodologijom u drugu kad zamenim isto kao i sto sam do sada radio bice [inlmath]y''=-3[/inlmath] a [inlmath]z''=3[/inlmath]

pa je vektor [inlmath]\vec{r''}=(0,-3,3)[/inlmath]

kako vektorski proizvod vektora jednak vektoru binormale koja odredjuje nasu oskulaturnu ravan [inlmath]\vec{r'}\times\vec{r''}=\vec{b}[/inlmath] pa je taj proizvod
[dispmath]\vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
1 & 2 & -2\\
0 & -3 & 3
\end{vmatrix}=6\vec{i}-3\vec{k}-6\vec{i}-3\vec{j}[/dispmath] odnosno vektor je [inlmath]\vec{b}=(0,-3,-3)[/inlmath] a jednacina O.R je [inlmath]0\cdot(x-2)-3\cdot(y-1)-3\cdot(z-2)=0[/inlmath]

ako nesto od ovoga ne valja moze neko da mi kaze sta i kako je trebalo hvala

da determinanta je razlicita od nula i sve je neprekidno,
pecke91  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Jun 2018, 10:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs