Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Morfizam i izomorfizam

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Morfizam i izomorfizam

Postod Griezzmiha » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 17:08

Dobar dan, gospodo... Zanima me znacenje reci morfizam (koje ja bar tretiram kao preslikavanje ili funkciju, zavisno od oblasti matematike o kojoj pricamo)... Te ce me zanimati dobro li ja tretiram sam pojam? Takodje cu ispisati definiciju samog pojma, ciju svrhu i cilj pokusavam, ali ne mogu razaznati...

Definicija: Uredjeno polje [inlmath](S_1,+_1,\cdot_1,\le_1)[/inlmath] i [inlmath](S_2,+_2,\cdot_2,\le_2)[/inlmath] su morfna ako postoji bijekcija [inlmath]f\colon S\to S_1[/inlmath] 1-1 i NA, tako da su ispunjena sledeca tri zahteva:

1. [inlmath]f(s+_1t)=f(s)+_2f(t)[/inlmath];
2. [inlmath]f(s\cdot_2 t)=f(s)\cdot_2f(t)[/inlmath];
3. [inlmath]f(s)\le_2 f(t)\iff s\le_1t[/inlmath].

Zanima me ako mozete uprostiti definiciju, kojoj mozda nazirem tu i tamo neku svrhu... Ali ne pronalazim odgovora, iscitao sam je nekih 40ak puta polako i koncizno ali nije to to i dalje.... I naravno ovi zahtevi, njih tek ne kapiram, ne znam kako dolazi do ovih promena kod modula sabiranja/mnozenja/relacije (manje jednako tj. [inlmath]\le[/inlmath]).

Primeticete i pojam izomorfizma koji sam napomenuo u naslovu, zanima me samo ima li on ikakve veze sa morfizmom, i ako ima (sto pretpostavljam po imenu), mozete li njega onako ukratko objasniti? Mnogo se stvari vrti oko teorije, a profesori je samo izdeklamuju, sto me cesto ostavlja u nedoumici sta i o cemu mi zapravo pricamo... Retko dobijem neko konkretno objasnjenje, imate li mozda neki savet za ovaj, reci cu problem slobodno, jer se cesto uhvatim da mi definicije zadaju ozbiljne galvobolje. Neki savet da ih brze shvatim, u toku i van predavanja i slicno...
 
Postovi: 82
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Morfizam i izomorfizam

Postod ubavic » Ponedeljak, 26. Oktobar 2020, 01:29

Da, morfizmi su preslikavanja koja čuvaju nekakvu strukturu. Kakva struktura je u pitanju, to zavisi od toga o čemu se govori. Ti ćeš se na početku fakulteta uglavnom upoznavati sa morfizmima algebarskih struktura (tj. grupa, prstena, polja i na kraju vektorskih prostora). Na primer, morfizam (ili češto rečeno homomorfizam) [inlmath]f\colon A\rightarrow B[/inlmath] grupa [inlmath](A, \cdot_A)[/inlmath] i [inlmath](B, \cdot_B)[/inlmath] je preslikavanje skupa [inlmath]A[/inlmath] u skup [inlmath]B[/inlmath] takvo da je [inlmath]f(a_1 \cdot_A a_2) = f(a_1) \cdot_B f(a_2)[/inlmath] za sve [inlmath]a_1,a_2\in A[/inlmath]. Slična definicija važi i za prsten sa jedinicom: homomorfizam prstena [inlmath]\mathbb R = (R, +_R, \cdot_R, 1_R)[/inlmath] i [inlmath]\mathbb S = (S, +_S, \cdot_S, 1_S)[/inlmath] je svako preslikavanje [inlmath]F\colon R \rightarrow S[/inlmath] takvo da je [inlmath]F(r_1 +_R r_2) = F(r_1) +_S F(r_2)[/inlmath] i [inlmath]F(r_1 \cdot_R r_2) = F(r_1) \cdot_S F(r_2)[/inlmath] za sve [inlmath]r_1,r_2\in R[/inlmath], i važi [inlmath]F(1_R) = 1_S.[/inlmath] Kako su polja specijalni slučajevi prstena s jedinicom, definicija homomorfizma polja je ista kao definicija prstena (samo što obe strukture moraju biti polje).
Za morfizam [inlmath]f\colon A\rightarrow B[/inlmath] između grupa (prstena, polja...) kažemo da je izomorfizam ako je [inlmath]f[/inlmath] bijekcija i [inlmath]f^{-1}\colon B\rightarrow A[/inlmath] je takođe morfizam grupa (prstena, polja...). Strukture koje su izomorfne, suštinski su iste.

Primer jednog homomorfizma polja je [inlmath]f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb C[/inlmath] zadato sa [inlmath]f(r) = r+i0[/inlmath] za svako [inlmath]r\in \mathbb R[/inlmath] (ovakav homomorfizam se zove utapanje, jer ne radi ništa specijalno, samo "utapa" realne brojeve u kompleksne). Ovaj homomorfizam nije izomorfizam, jer nije surjektivan.
Primer jednog izomorfizma polja je [inlmath]g\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C[/inlmath] zadato sa [inlmath]g(z) = \bar z[/inlmath] za svako [inlmath]r\in \mathbb C[/inlmath] (odnosno u pitanju je dobro poznata konjugacija kompleksnih brojeva). Tebi ostavljam da proveriš da je ovo izomorfizam.

U ovoj definiciji radi se o (izo)morfizmima (da li si siguran da je baš morfizam, da nije to definicija izomorfizma što si naveo?) uređenih polja. Zbog toga je dodat uslov 3. o očuvanju poretka (ovde nije naveden uslov da se jedinica jednog polja slika u jedinicu drugog polja, ali to se može uraditi tako iz nekih razloga u koje neću sad da ulazim....).

Primer morfizma između uređenih polja je utapanje racionalnih brojeva [inlmath]\mathbb Q[/inlmath] u realne [inlmath]\mathbb R[/inlmath] (kompleksno polje ne može biti uređeno, zbog toga ovde nemamo primera sa [inlmath]\mathbb C[/inlmath]). Ne mogu se setiti nekog ilustrativnog primera izomorfizma uređenih polja....

Ono što tebe buni ovde su izgleda oznake. U ovom kontekstu, indeks pored znaka za sabiranje ne označava sabiranje po modulu, već sabiranje u prvom, odnosno, drugom uređenom polju (i slično za množenje).
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 562
Zahvalio se: 362 puta
Pohvaljen: 553 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 03. Decembar 2020, 01:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs