Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Funkcije više promjenljivih – konveksnost/konkavnost

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Funkcije više promjenljivih – konveksnost/konkavnost

Postod Xon Faxon » Ponedeljak, 21. Jul 2014, 23:31

Nisam mogao naći na internetu odgovore na sljedeća 3 pitanja:

1) Kako se definiše konveksnost i konkavnost funkcija više promjenljivih?
2) Kako se dokazuje da je zbir konveksnih funkcija konveksna funkcija?
3) Da li funkcija dvije promjenljive koja nije konveksna može imati jedan lokalni (ujedno i globalni) minimum?

Ako neko zna, bujrum... Ako ima neka literatura sa navedenim odgovorima, molim link.
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Funkcije više promjenljivih – konveksnost/konkavnost

Postod Daniel » Sreda, 23. Jul 2014, 12:40

Xon Faxon je napisao:1) Kako se definiše konveksnost i konkavnost funkcija više promjenljivih?

Funkcija je konveksna onda kada je duž koja spaja bilo koje dve tačke grafika te funkcije celom svojom dužinom iznad grafika te funkcije. Tj. ako postoji makar jedna tačka te duži koja se nalazi ispod grafika funkcije, tada funkcija nije konveksna.
Slično i za konkavnu funkciju, s tim što tada u prethodnoj rečenici reč iznad treba zameniti rečju ispod i obratno.

Formalno zapisana definicija bi glasila ovako:
Funkcija [inlmath]f[/inlmath] od [inlmath]n[/inlmath] promenljivih konveksna je na nekom intervalu [inlmath]S[/inlmath] kada:
[dispmath]\Big(\forall A,B\in S\Big)\Big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\Big)\bigg(f\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)f\left(A\right)+\lambda f\left(B\right)\bigg)[/dispmath]
gde su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tačke čije su koordinate određene promenljivama [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_n[/inlmath].

Na sličan način se definiše i konkavna funkcija, tako što se u gornjem izrazu znak [inlmath]\le[/inlmath] zameni znakom [inlmath]\ge[/inlmath].

Strogu konveksnost, odnosno strogu konkavnost, definišemo tako što u formalnoj definiciji znak [inlmath]\le[/inlmath] zamenimo znakom [inlmath]<[/inlmath], odnosno, znak [inlmath]\ge[/inlmath] zamenimo znakom [inlmath]>[/inlmath].

Xon Faxon je napisao:2) Kako se dokazuje da je zbir konveksnih funkcija konveksna funkcija?

Označimo sa [inlmath]h[/inlmath] zbir konveksnih funkcija [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath].
Pošto su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] konveksne, važi da je
[dispmath]\Big(\forall A,B\in S\Big)\Big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\Big)\bigg(f\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)f\left(A\right)+\lambda f\left(B\right)\bigg)[/dispmath][dispmath]\Big(\forall A,B\in S\Big)\Big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\Big)\bigg(g\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)g\left(A\right)+\lambda g\left(B\right)\bigg)[/dispmath]
pa je odatle, [inlmath]\big(\forall A,B\in S\big)\big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\big)[/inlmath],
[dispmath]h\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)=f\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)+g\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le[/dispmath][dispmath]\le\left(1-\lambda\right)f\left(A\right)+\lambda f\left(B\right)+\left(1-\lambda\right)g\left(A\right)+\lambda g\left(B\right)=[/dispmath][dispmath]=\left(1-\lambda\right)\underbrace{\left[f\left(A\right)+g\left(A\right)\right]}_{h\left(A\right)}+\lambda\underbrace{\left[f\left(B\right)+g\left(B\right)\right]}_{h\left(B\right)}=\left(1-\lambda\right)h\left(A\right)+\lambda h\left(B\right)[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad h\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)h\left(A\right)+\lambda h\left(B\right)[/dispmath]
iz čega sledi da je i [inlmath]h[/inlmath] konveksna funkcija.

Xon Faxon je napisao:3) Da li funkcija dvije promjenljive koja nije konveksna može imati jedan lokalni (ujedno i globalni) minimum?

Može, primer je funkcija [inlmath]f\left(x,y\right)=2x^4-4x^2-x+\left(y-1\right)^2[/inlmath], čiji je lokalni minimum u tački [inlmath]\left(1,1\right)[/inlmath] ujedno i globalni minimum.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7357
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3820 puta
Pohvaljen: 3970 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 10. Decembar 2018, 05:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs