Funkcije više promjenljivih – konveksnost/konkavnost

PostPoslato: Ponedeljak, 21. Jul 2014, 23:31
od Xon Faxon
Nisam mogao naći na internetu odgovore na sljedeća 3 pitanja:

1) Kako se definiše konveksnost i konkavnost funkcija više promjenljivih?
2) Kako se dokazuje da je zbir konveksnih funkcija konveksna funkcija?
3) Da li funkcija dvije promjenljive koja nije konveksna može imati jedan lokalni (ujedno i globalni) minimum?

Ako neko zna, bujrum... Ako ima neka literatura sa navedenim odgovorima, molim link.

Re: Funkcije više promjenljivih – konveksnost/konkavnost

PostPoslato: Sreda, 23. Jul 2014, 12:40
od Daniel
Xon Faxon je napisao:1) Kako se definiše konveksnost i konkavnost funkcija više promjenljivih?

Funkcija je konveksna onda kada je duž koja spaja bilo koje dve tačke grafika te funkcije celom svojom dužinom iznad grafika te funkcije. Tj. ako postoji makar jedna tačka te duži koja se nalazi ispod grafika funkcije, tada funkcija nije konveksna.
Slično i za konkavnu funkciju, s tim što tada u prethodnoj rečenici reč iznad treba zameniti rečju ispod i obratno.

Formalno zapisana definicija bi glasila ovako:
Funkcija [inlmath]f[/inlmath] od [inlmath]n[/inlmath] promenljivih konveksna je na nekom intervalu [inlmath]S[/inlmath] kada:
[dispmath]\Big(\forall A,B\in S\Big)\Big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\Big)\bigg(f\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)f\left(A\right)+\lambda f\left(B\right)\bigg)[/dispmath]
gde su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tačke čije su koordinate određene promenljivama [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_n[/inlmath].

Na sličan način se definiše i konkavna funkcija, tako što se u gornjem izrazu znak [inlmath]\le[/inlmath] zameni znakom [inlmath]\ge[/inlmath].

Strogu konveksnost, odnosno strogu konkavnost, definišemo tako što u formalnoj definiciji znak [inlmath]\le[/inlmath] zamenimo znakom [inlmath]<[/inlmath], odnosno, znak [inlmath]\ge[/inlmath] zamenimo znakom [inlmath]>[/inlmath].

Xon Faxon je napisao:2) Kako se dokazuje da je zbir konveksnih funkcija konveksna funkcija?

Označimo sa [inlmath]h[/inlmath] zbir konveksnih funkcija [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath].
Pošto su funkcije [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] konveksne, važi da je
[dispmath]\Big(\forall A,B\in S\Big)\Big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\Big)\bigg(f\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)f\left(A\right)+\lambda f\left(B\right)\bigg)[/dispmath][dispmath]\Big(\forall A,B\in S\Big)\Big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\Big)\bigg(g\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)g\left(A\right)+\lambda g\left(B\right)\bigg)[/dispmath]
pa je odatle, [inlmath]\big(\forall A,B\in S\big)\big(\forall\lambda\in\left(0,1\right)\big)[/inlmath],
[dispmath]h\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)=f\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)+g\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le[/dispmath][dispmath]\le\left(1-\lambda\right)f\left(A\right)+\lambda f\left(B\right)+\left(1-\lambda\right)g\left(A\right)+\lambda g\left(B\right)=[/dispmath][dispmath]=\left(1-\lambda\right)\underbrace{\left[f\left(A\right)+g\left(A\right)\right]}_{h\left(A\right)}+\lambda\underbrace{\left[f\left(B\right)+g\left(B\right)\right]}_{h\left(B\right)}=\left(1-\lambda\right)h\left(A\right)+\lambda h\left(B\right)[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad h\big(\left(1-\lambda\right)A+\lambda B\big)\le\left(1-\lambda\right)h\left(A\right)+\lambda h\left(B\right)[/dispmath]
iz čega sledi da je i [inlmath]h[/inlmath] konveksna funkcija.

Xon Faxon je napisao:3) Da li funkcija dvije promjenljive koja nije konveksna može imati jedan lokalni (ujedno i globalni) minimum?

Može, primer je funkcija [inlmath]f\left(x,y\right)=2x^4-4x^2-x+\left(y-1\right)^2[/inlmath], čiji je lokalni minimum u tački [inlmath]\left(1,1\right)[/inlmath] ujedno i globalni minimum.