Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Parcijalni izvodi

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Parcijalni izvodi

Postod coa » Utorak, 11. Novembar 2014, 21:13

Pozdrav posle duzeg vremena :D ,hteo bih da iskoristim priliku da se zahvalim svim clanovima matemanije na nesebicnoj pomoci (posebno Danielu i Milovanu) u protekloj godini :D
[dispmath]f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\;f(x,y)=\sqrt[4]{xy}[/dispmath]
treba pokazati da parcijalni izvodi postoje u [inlmath](0,0)[/inlmath], ja sam ih nasao po definiciji i dobio [inlmath]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0[/inlmath] medjutim ako bi trazio parcijalne izvode kao obicni izvod fiksirajuci jednu promenjlivu recimo [inlmath]\frac{\partial f}{\partial x}=\sqrt[4]y\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}[/inlmath], za [inlmath](0,0)[/inlmath] dobijam deljenje nulom.Ja sam mislio da je to povezano sa tim sto fja nije definisana u drugom i cetvrtom kvadrantu ali slicno bi bilo i da je fja data pod trecim a ne cetvrtim korenom,pa me interesuje kad smem da trazim parcijalni izvod kao obicni,posebno su mi zbunjujuci slucajevi kada je fja zadata kao neki br,obicno [inlmath]0[/inlmath] u [inlmath](0,0)[/inlmath], dok je u ostalim tackama ravni data nekim izrazom?
coa  OFFLINE
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Parcijalni izvodi

Postod Daniel » Nedelja, 16. Novembar 2014, 08:10

Prilikom traženja parcijalnog izvoda [inlmath]\frac{\partial f}{\partial x}[/inlmath], pri čemu si dobio [inlmath]\frac{\partial f}{\partial x}=\sqrt[4]y\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}[/inlmath], verovatno si koristio svojstvo [inlmath]\left[af\left(x\right)\right]'=af'\left(x\right)[/inlmath]. Međutim, to svojstvo ne važi onda kada je [inlmath]a=0[/inlmath] i kada [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] nije diferencijabilna na celom intervalu. A evo i kontraprimera. Uzmimo funkciju [inlmath]f\left(x\right)=\sqrt[3]x[/inlmath]. Njen prvi izvod biće [inlmath]f'\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}[/inlmath]. (Namerno nisam hteo da uzmem funkciju [inlmath]f\left(x\right)=\sqrt x[/inlmath], već neku koja je definisana za sve realne brojeve, kako se ne bismo bavili pitanjem definisanosti funkcije.) E sad na nju primenimo svojstvo [inlmath]\left[af\left(x\right)\right]'=af'\left(x\right)[/inlmath], pri čemu uzimamo [inlmath]a=0[/inlmath]:
[dispmath]\left(0\cdot\sqrt[3]x\right)'=0\cdot\left(\sqrt[3]x\right)'=\frac{0}{3\sqrt[3]{x^2}}[/dispmath]
i doći ćemo do pogrešnog zaključka da izvod u nuli nije definisan. Međutim, znamo da je [inlmath]\left(0\cdot\sqrt[3]x\right)'[/inlmath] zapravo isto što i [inlmath]\left(0\right)'[/inlmath], tj. izvod od konstante (u ovom slučaju nule), a kao izvod konstante, on je jednak nuli na celom intervalu realnih brojeva. Prema tome, u ovom slučaju primena formule [inlmath]\left[af\left(x\right)\right]'=af'\left(x\right)[/inlmath] nas je dovela do pogrešnog rezultata.

Dokažimo svojstvo [inlmath]\left[af\left(x\right)\right]'=af'\left(x\right)[/inlmath], za [inlmath]f\left(x\right)=\sqrt[3]x[/inlmath], koristeći definiciju izvoda:
[dispmath]\left(a\sqrt[3]x\right)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a\sqrt[3]{x+\Delta x}-a\sqrt[3]x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a\left(\sqrt[3]{x+\Delta x}-\sqrt[3]x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a\frac{\cancel x+\Delta x-\cancel x}{\sqrt[3]{\left(x+\Delta x\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+\Delta x\right)x}+\sqrt[3]{x^2}}}{\Delta x}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a\cancel{\Delta x}}{\cancel{\Delta x}\left(\sqrt[3]{\left(x+\Delta x\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+\Delta x\right)x}+\sqrt[3]{x^2}\right)}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a}{\sqrt[3]{\left(x+\cancelto{0}{\Delta x}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+\cancelto{0}{\Delta x}\right)x}+\sqrt[3]{x^2}}=\frac{a}{3\sqrt[3]{x^2}}=a\left(\sqrt[3]x\right)'[/dispmath]
Međutim, pretposlednji korak je ispravan samo za [inlmath]a\ne 0[/inlmath] ili [inlmath]x\ne 0[/inlmath]. Za slučaj [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]a=0[/inlmath], treći izraz od kraja glasio bi:
[dispmath]\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\sqrt[3]{\left(0+\Delta x\right)^2}+\sqrt[3]{\left(0+\Delta x\right)\cdot 0}+\sqrt[3]{0^2}}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{0}{\sqrt[3]{\Delta x^2}}[/dispmath]
a vrednost tog limesa je jednaka nuli. Međutim, da smo u ovom slučaju nulu izvukli ispred limesa, to bi bio jedan veliki no-no, jer bismo time dobili
[dispmath]0\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\sqrt[3]{\Delta x^2}}=0\cdot\frac{1}{0}=\frac{0}{0}[/dispmath]
a to je neodređen izraz.

E, zbog toga, da bi se smela primeniti formula [inlmath]\left[af\left(x\right)\right]'=af'\left(x\right)[/inlmath], potrebno je ili da [inlmath]a[/inlmath] bude različito od nule, ili da funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] bude diferencijabilna za svako [inlmath]x[/inlmath] (ili i jedno i drugo). U ovom tvom slučaju, tebi je [inlmath]a[/inlmath] bilo [inlmath]\sqrt[4]y[/inlmath] (koje je jednako nuli), a funkcija je bila [inlmath]f\left(x\right)=\sqrt[4]x[/inlmath] (koja nije diferencijabilna za [inlmath]x=0[/inlmath]) i zbog toga si primenom te formule dobio pogrešan rezultat.



Parcijalni izvod po [inlmath]x[/inlmath] u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] mogao si odrediti i tako što u [inlmath]f\left(x,y\right)=\sqrt[4]{xy}[/inlmath] uvrstiš [inlmath]y=0[/inlmath], čime svedeš to na funkciju jedne promenljive, promenljive [inlmath]x[/inlmath], i onda tražiš izvod po [inlmath]x[/inlmath] za [inlmath]x=0[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\partial f\left(x,0\right)}{\partial x}=f'\left(x,0\right)=\left(\sqrt[4]{x\cdot 0}\right)'=\left(0\right)'=0[/dispmath]
Slično i za [inlmath]\frac{\partial f\left(0,y\right)}{\partial y}[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7739
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4064 puta
Pohvaljen: 4124 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Oktobar 2019, 02:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs