Stranica 1 od 1

Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 19:38
od lowzyyy
Pozdrav, od kako sam krenuo na fakultet mnogima pa i meni nije jasno dosta stvari iz Matematicke analize 1. Ne znam koliko sam siguran da sam otvorio temu na dobrom mestu, ali nisam znao gde.
Problem je sto ne razumem dokaz iz kako skup [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne zadovoljava ovu aksiomu. Sam tekst mi nije jasan od pocetka gde kaze da treba da se dokaze da ne postoji broj [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljava
[dispmath]x\le z\le y[/dispmath] pri cemu je
[inlmath]A=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2\right\}[/inlmath]
[inlmath]B=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\ge0,\;x^2>2\right\}[/inlmath]
[inlmath]x\in A[/inlmath] i [inlmath]y\in B[/inlmath] i vazi [inlmath]x\le y[/inlmath]

I sad kazu dokazimo da [inlmath]z\in\mathbb{Q}[/inlmath] ne postoji. Taj element ako bi postojao ocigledno da mora da bude pozitivan. Zasto mora da bude pozitivan nije mi jasno?
Dalje kazu onda bi bile 3 mogucnosti:
[inlmath]z^2<2\\
z^2=2\\
z^2>2[/inlmath]
Cekaj, ako biramo da bude izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koje sad tri mogucnosti ? Ukoliko je veci od [inlmath]2[/inlmath] zar to ne spada onda u element iz [inlmath]B[/inlmath], a ako je manji od [inlmath]2[/inlmath] onda upada u [inlmath]A[/inlmath]. Zasto nije jedina mogucnost da je [inlmath]z^2=2[/inlmath] jer ce tada biti izmedju ova dva. Onda se nadovezuje pitanje zasto su stavljene relacije [inlmath]\le[/inlmath] ako trazimo element izmedju. Pa ako su elementi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jednaki onda ne postoji element izmedju i nije mi jasno cemu onda taj znak i celo ovo dokazivanje?

Idemo dalje. [inlmath]z^2=2[/inlmath] Otpada, jer ako bi [inlmath]z=\frac{p}{q},\;(p.q)=1[/inlmath] bio razlomak za koje je [inlmath]z^2=2[/inlmath], imali bismo [inlmath]p^2=2q^2[/inlmath] (to razumem, pomnozili smo [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]), odakle, [inlmath]2|p[/inlmath] (razumem) i zato [inlmath]2r^2=q^2,\;r\in\mathbb{Z}[/inlmath] pa i [inlmath]2|q[/inlmath], suprotno pretpostavci [inlmath](p,q)=1[/inlmath]. E ovde mi nije jasno sta je [inlmath]r[/inlmath] i odakle se pojavljuje i onda da [inlmath]2[/inlmath] deli [inlmath]q[/inlmath] mi nije jasno jer ovo pre toga ne razumem.

Dalje. Dokazimo da je i [inlmath]z^2<2[/inlmath] nemoguce. Pretpostavimo da je to ispunjeno i izaberimo prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] za koji je [inlmath]n>\frac{2z+1}{2-z^2}[/inlmath] (Sta je ovo???)
Tada je:
[dispmath]\left(z +\frac{1}{n}\right)^2=z^2+\frac{2z}{n}+\frac{1}{n^2}\le z^2+\frac{2z+1}{n}<z^2+\left(2-z^2\right)=2[/dispmath] (Zasto sabiramo [inlmath]z[/inlmath] sa [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath]? sta je ovo i odakle je ispalo...)
tj da broj [inlmath]z+\frac{1}{n}[/inlmath], koji je ocigledno veci od [inlmath]z[/inlmath] ima takodje kvadrat manji od [inlmath]2[/inlmath], pa pripada skupu [inlmath]A[/inlmath], sto je suprotno izboru broja [inlmath]z[/inlmath].
Na slican nacin dokazuje se da ne moze biti ni [inlmath]z^2>2[/inlmath]. Znaci broj [inlmath]z[/inlmath] sa pomenutim svojstvima ne moze postojati i aksioma (4) (misli se na aksiomu neprekidnosti) u skupu [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne vazi.

Hvala na pomoci unapred

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 21:52
od desideri
Da li si siguran da je zadatak dobro nakucan?
Ako je [inlmath]x^2<2[/inlmath] u skupu [inlmath]A[/inlmath] i istovremeno [inlmath]x^2>2[/inlmath] u skupu [inlmath]B[/inlmath], ti skupovi su disjunktni po [inlmath]x[/inlmath], tj. vidim kontradikciju. Možda grešim, no neka me neko ispravi ako nije tako.

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 21:55
od lowzyyy
Ovo sam prekucavao iz knjige iz koje ucim? Mislite konkretno na ovo sto sam zapisivao za skupove [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]?

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 21:59
od desideri
Da, na to mislim. Molim te da navedes i izvor, tj koja je knjiga.
Jeste teorijsko pitanje, ali je interesantno :thumbup:

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 21:59
od Onomatopeja
@desideri Nema ovde kontradikcije (ako sam dobro razumeo u odnosu na sta posmatras kontradikciju), jer je potrebno pokazati da ne postoji racionalan broj [inlmath]z[/inlmath] sa osobinom [inlmath]x\le z\le y[/inlmath] za svako [inlmath]x\in A[/inlmath] i [inlmath]y\in B[/inlmath] (ovo poslednje je postavljac teme zaboravio da doda, a zaista je od velike vaznosti). Inace, da, ovi skupovi jesu disjunktni, ali to nam nije dovoljno da bismo pokazali da ne postoji racionalno [inlmath]z[/inlmath] sa datom osobinom.

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 22:04
od desideri
@Onomatopeja,
e pa to mi kaži a ne da lupam glavu oko ovoga.
No ovo je trebalo da naslovim postavljaču teme, ne tebi, izvinjavam se.
Aj ga sačekamo.

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 22:14
od lowzyyy
Knjiga je Matematicka analiza 1. Autori su Zoran Kadelburg, Dusan Adnadjevic.
Kako nisam napisao u drugoj recenici da treba da se dokaze da [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne zadovoljava tu aksiomu?

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 23:31
od Onomatopeja
Pa mozda se ne secaju svi iz prve kako glasi data aksioma.

Elem, da se mi vratimo na biznis. Na primer, zasto je [inlmath]z[/inlmath] pozitivno? Pa, primeti na primer da [inlmath]0\in A[/inlmath], a kako je [inlmath]x\le z[/inlmath] za svako [inlmath]x\in A[/inlmath], to je i [inlmath]0\le z[/inlmath]. Isto tako, za dokaz da ne postoji racionalan broj [inlmath]z[/inlmath] takav da vazi [inlmath]z^2=2[/inlmath] pogledaj npr. ovu temu. Kod tebe konkretno, i sam si rekao, vazi [inlmath]2\mid p[/inlmath], pa postoji [inlmath]r\in\mathbb{Z}[/inlmath] takvo da vazi [inlmath]p=2r[/inlmath]. Odatle, vracanjem u [inlmath]p^2=2q^2[/inlmath] dobijamo [inlmath]2r^2=q^2[/inlmath], itd.

I tako dalje, i tako dalje, odoh ja na spavanje, a ti jos malo promisli o svemu ovome (kao i ostalim delovima koji te bune).

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Ponedeljak, 19. Oktobar 2015, 20:53
od lowzyyy
Razumeo sam ovo za [inlmath]z^2=2[/inlmath] ali i dalje ne razumem zasto se razmatraju slucajevi kada je [inlmath]z[/inlmath] vece i [inlmath]z[/inlmath] manje od [inlmath]2[/inlmath]??? Zar ne trazimo broj izmedju ta dva?
I jos nesto, kako smo izabrali ovo [inlmath]n[/inlmath] i zasto je kod izraza kada smo kvadrirali [inlmath]z+\frac{1}{n}[/inlmath] i nasli nzd nestalo [inlmath]n^2[/inlmath] i ostalo samo [inlmath]n[/inlmath]

Re: Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti

PostPoslato: Utorak, 03. Mart 2020, 22:29
od Davidpet
Ovo pitanje je davno postavljeno ali reših ipak da ostavim komentar.
Skupovi [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] su podskupovi racionalnih brojeva koji se graniče u broju [inlmath]\sqrt2[/inlmath]. Kako to nije racionalan broj ne pripada skupovima [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], i mi se ovde pitamo o prirodi "rascepa" izmedju pomenutih skupova.

A ako [inlmath]z^2[/inlmath] izaberemo manje od dva pokazuje se da uvek mozemo naci racionalan broj veci od [inlmath]z[/inlmath] koji je takodje u skupu [inlmath]A[/inlmath]. Ovde [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] služi da se predstavi veoma mala veličina.