Pomoc oko razumevanja aksiome neprekidnosti
Poslato: Subota, 17. Oktobar 2015, 19:38
Pozdrav, od kako sam krenuo na fakultet mnogima pa i meni nije jasno dosta stvari iz Matematicke analize 1. Ne znam koliko sam siguran da sam otvorio temu na dobrom mestu, ali nisam znao gde.
Problem je sto ne razumem dokaz iz kako skup [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne zadovoljava ovu aksiomu. Sam tekst mi nije jasan od pocetka gde kaze da treba da se dokaze da ne postoji broj [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljava
[dispmath]x\le z\le y[/dispmath] pri cemu je
[inlmath]A=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2\right\}[/inlmath]
[inlmath]B=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\ge0,\;x^2>2\right\}[/inlmath]
[inlmath]x\in A[/inlmath] i [inlmath]y\in B[/inlmath] i vazi [inlmath]x\le y[/inlmath]
I sad kazu dokazimo da [inlmath]z\in\mathbb{Q}[/inlmath] ne postoji. Taj element ako bi postojao ocigledno da mora da bude pozitivan. Zasto mora da bude pozitivan nije mi jasno?
Dalje kazu onda bi bile 3 mogucnosti:
[inlmath]z^2<2\\
z^2=2\\
z^2>2[/inlmath]
Cekaj, ako biramo da bude izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koje sad tri mogucnosti ? Ukoliko je veci od [inlmath]2[/inlmath] zar to ne spada onda u element iz [inlmath]B[/inlmath], a ako je manji od [inlmath]2[/inlmath] onda upada u [inlmath]A[/inlmath]. Zasto nije jedina mogucnost da je [inlmath]z^2=2[/inlmath] jer ce tada biti izmedju ova dva. Onda se nadovezuje pitanje zasto su stavljene relacije [inlmath]\le[/inlmath] ako trazimo element izmedju. Pa ako su elementi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jednaki onda ne postoji element izmedju i nije mi jasno cemu onda taj znak i celo ovo dokazivanje?
Idemo dalje. [inlmath]z^2=2[/inlmath] Otpada, jer ako bi [inlmath]z=\frac{p}{q},\;(p.q)=1[/inlmath] bio razlomak za koje je [inlmath]z^2=2[/inlmath], imali bismo [inlmath]p^2=2q^2[/inlmath] (to razumem, pomnozili smo [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]), odakle, [inlmath]2|p[/inlmath] (razumem) i zato [inlmath]2r^2=q^2,\;r\in\mathbb{Z}[/inlmath] pa i [inlmath]2|q[/inlmath], suprotno pretpostavci [inlmath](p,q)=1[/inlmath]. E ovde mi nije jasno sta je [inlmath]r[/inlmath] i odakle se pojavljuje i onda da [inlmath]2[/inlmath] deli [inlmath]q[/inlmath] mi nije jasno jer ovo pre toga ne razumem.
Dalje. Dokazimo da je i [inlmath]z^2<2[/inlmath] nemoguce. Pretpostavimo da je to ispunjeno i izaberimo prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] za koji je [inlmath]n>\frac{2z+1}{2-z^2}[/inlmath] (Sta je ovo???)
Tada je:
[dispmath]\left(z +\frac{1}{n}\right)^2=z^2+\frac{2z}{n}+\frac{1}{n^2}\le z^2+\frac{2z+1}{n}<z^2+\left(2-z^2\right)=2[/dispmath] (Zasto sabiramo [inlmath]z[/inlmath] sa [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath]? sta je ovo i odakle je ispalo...)
tj da broj [inlmath]z+\frac{1}{n}[/inlmath], koji je ocigledno veci od [inlmath]z[/inlmath] ima takodje kvadrat manji od [inlmath]2[/inlmath], pa pripada skupu [inlmath]A[/inlmath], sto je suprotno izboru broja [inlmath]z[/inlmath].
Na slican nacin dokazuje se da ne moze biti ni [inlmath]z^2>2[/inlmath]. Znaci broj [inlmath]z[/inlmath] sa pomenutim svojstvima ne moze postojati i aksioma (4) (misli se na aksiomu neprekidnosti) u skupu [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne vazi.
Hvala na pomoci unapred
Problem je sto ne razumem dokaz iz kako skup [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne zadovoljava ovu aksiomu. Sam tekst mi nije jasan od pocetka gde kaze da treba da se dokaze da ne postoji broj [inlmath]z[/inlmath] koji zadovoljava
[dispmath]x\le z\le y[/dispmath] pri cemu je
[inlmath]A=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2\right\}[/inlmath]
[inlmath]B=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\ge0,\;x^2>2\right\}[/inlmath]
[inlmath]x\in A[/inlmath] i [inlmath]y\in B[/inlmath] i vazi [inlmath]x\le y[/inlmath]
I sad kazu dokazimo da [inlmath]z\in\mathbb{Q}[/inlmath] ne postoji. Taj element ako bi postojao ocigledno da mora da bude pozitivan. Zasto mora da bude pozitivan nije mi jasno?
Dalje kazu onda bi bile 3 mogucnosti:
[inlmath]z^2<2\\
z^2=2\\
z^2>2[/inlmath]
Cekaj, ako biramo da bude izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koje sad tri mogucnosti ? Ukoliko je veci od [inlmath]2[/inlmath] zar to ne spada onda u element iz [inlmath]B[/inlmath], a ako je manji od [inlmath]2[/inlmath] onda upada u [inlmath]A[/inlmath]. Zasto nije jedina mogucnost da je [inlmath]z^2=2[/inlmath] jer ce tada biti izmedju ova dva. Onda se nadovezuje pitanje zasto su stavljene relacije [inlmath]\le[/inlmath] ako trazimo element izmedju. Pa ako su elementi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] jednaki onda ne postoji element izmedju i nije mi jasno cemu onda taj znak i celo ovo dokazivanje?
Idemo dalje. [inlmath]z^2=2[/inlmath] Otpada, jer ako bi [inlmath]z=\frac{p}{q},\;(p.q)=1[/inlmath] bio razlomak za koje je [inlmath]z^2=2[/inlmath], imali bismo [inlmath]p^2=2q^2[/inlmath] (to razumem, pomnozili smo [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]), odakle, [inlmath]2|p[/inlmath] (razumem) i zato [inlmath]2r^2=q^2,\;r\in\mathbb{Z}[/inlmath] pa i [inlmath]2|q[/inlmath], suprotno pretpostavci [inlmath](p,q)=1[/inlmath]. E ovde mi nije jasno sta je [inlmath]r[/inlmath] i odakle se pojavljuje i onda da [inlmath]2[/inlmath] deli [inlmath]q[/inlmath] mi nije jasno jer ovo pre toga ne razumem.
Dalje. Dokazimo da je i [inlmath]z^2<2[/inlmath] nemoguce. Pretpostavimo da je to ispunjeno i izaberimo prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] za koji je [inlmath]n>\frac{2z+1}{2-z^2}[/inlmath] (Sta je ovo???)
Tada je:
[dispmath]\left(z +\frac{1}{n}\right)^2=z^2+\frac{2z}{n}+\frac{1}{n^2}\le z^2+\frac{2z+1}{n}<z^2+\left(2-z^2\right)=2[/dispmath] (Zasto sabiramo [inlmath]z[/inlmath] sa [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath]? sta je ovo i odakle je ispalo...)
tj da broj [inlmath]z+\frac{1}{n}[/inlmath], koji je ocigledno veci od [inlmath]z[/inlmath] ima takodje kvadrat manji od [inlmath]2[/inlmath], pa pripada skupu [inlmath]A[/inlmath], sto je suprotno izboru broja [inlmath]z[/inlmath].
Na slican nacin dokazuje se da ne moze biti ni [inlmath]z^2>2[/inlmath]. Znaci broj [inlmath]z[/inlmath] sa pomenutim svojstvima ne moze postojati i aksioma (4) (misli se na aksiomu neprekidnosti) u skupu [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath] ne vazi.
Hvala na pomoci unapred