Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Borel–Lebegova teorema

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Borel–Lebegova teorema

Postod Trougao » Subota, 24. Oktobar 2015, 18:06

Ljudi tesko meni. Profa analize jurisa nezadrzivo napred. Totalno me buni ova teorema(kao i sve ove apstraktne stvari). Prvo je definisao pokrivace, ali dzabe ja nisam skapirao sta je pokrivac, pa je onda iskazao i dokazao ovu teoremu. Moze li neko da objasni ovo cudo. Mi krecemo od standarnih aksioma realnih brojeva + aksioma supremuma.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Onomatopeja » Subota, 24. Oktobar 2015, 18:20

Ja sam upoznat s datom teoremom (koja se kasnije u okviru topologije uzima kao definicija kompaktnog skupa, ali, o tom potom). Kako god, smatram da ovom uvodnom postu fali dodatnih objasnjenja. Dakle, kako je profesor definisao pokrivac (i to verovatno otvoren, sto je bitno), kao i sami delovi koji posle u dokazu same teoreme nisu jasni. Hajmo sad, korak po korak.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Trougao » Subota, 24. Oktobar 2015, 20:06

Evo saljem kako je to u skripti od Darka Milinkovica Matematicka analiza 1 definisano i po kojoj profesor ide. Saljem kao sliku zato sto ne znam sve znake da otkucam u latexu. A i ima mnogo teksta. Trebaju mi sati da rastumacim sta pise na malo vise od pola a4 strane tim tempom nikad necu nista uraditi.
Prikačeni fajlovi
BorelLebeg.jpg
BorelLebeg.jpg (88.64 KiB) Pogledano 672 puta
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Onomatopeja » Subota, 24. Oktobar 2015, 20:38

U redu, sad imamo nesto. Prvo, rekao si da ti nije jasna definicija pokrivaca. Naime, to nije nista posebno tesko, ali razumem da ljudima koji se prvi put susrecu sa ovim to moze predstavljati problem. Kako god, imamo ovu definiciju pokrivaca, ali intuitivno, pokrivac za skup [inlmath]A[/inlmath] je skup nekih skupova (iliti familija skupova) cija unija sadrzi [inlmath]A[/inlmath]. Dakle, sa tim skupovima iz tog pokrivaca mozemo prekriti skup [inlmath]A[/inlmath]. Na primer, ako je [inlmath]A=(-2,4)\cup(125,10000)[/inlmath] tada bi
[dispmath]\mathcal{J}=\{(-4,0],(10,130],(-3,-1),(126,300),(235,1000),(-1/2,7],(728,1000001]\}[/dispmath]
bio jedan pokrivac skupa [inlmath]A[/inlmath], jer je
[dispmath]\bigcup_{J\in\mathcal{J}}J=(-4,0]\cup(10,130]\cup(-3,-1)\cup(126,300)\cup(235,1000)\cup(-1/2,7]\cup(728,1000001]=\\
=(-4,7]\cup(10,1000001],[/dispmath]
a kako je
[dispmath]A=(-2,4)\cup(125,10000)\subseteq(-4,7]\cup(10,1000001][/dispmath]
to onda vidimo da [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] jeste jedan pokrivac za [inlmath]A[/inlmath]. Potpokrivac je bilo koji podskup od [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] koji i sam pokriva [inlmath]A[/inlmath], tj. to je familija nastala od familije [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] kada smo izbacili iz nje (iz [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath]) nekoliko clanova, ali takva nova familija i dalje pokriva [inlmath]A[/inlmath]. Na primer, iz prethodnog primera mozemo izbaciti skup [inlmath](-3,-1)[/inlmath], a takva familija [inlmath]\mathcal{J}_0=\mathcal{J}\setminus\{(-3,-1)\}[/inlmath] i dalje pokriva [inlmath]A[/inlmath].

U tvojoj teoremi obrati paznju da radimo sa otvorenim pokrivanjem, tj. da su svi skupovi iz [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] otvoreni (oblika [inlmath](c,d)[/inlmath] za neke [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] iz [inlmath]\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}[/inlmath]).

U redu, ako je ovo jasno, predji na dokaz. Procitaj jednom, promisli. Procitaj drugi put, promisli, nacrtaj sliku, misli. Onda, ako i dalje imas problem, pitaj, ali konkretno, sta ti nije jasno.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Trougao » Nedelja, 25. Oktobar 2015, 20:46

Ono sto je najbizarnije ja sam zapamtio dokaz veoma lako sa sve crtezom. Ali problem je sto ja ne shvatam sta ja tu dokazujem dal to znaci da ja naprimer ako segment [inlmath][a,b][/inlmath] na primer pokrijem ovako [inlmath][a,b]\subset(c,d)[/inlmath] da ja mogu da uzmem bilo koje pokrivanje to jest da ono postoji tako da je [inlmath][a,b]\subset(k,m)\subset(c,d)[/inlmath]?
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Onomatopeja » Nedelja, 25. Oktobar 2015, 21:16

Ne, ne. To ne bi bilo u duhu same teoreme, kao i ideje koja stoji iza nje. Sustina je, kad imas neko otvoreno pokrivanje skupa [inlmath][a,b][/inlmath], sa beskonacno otvorenih intervala, da onda mozes iz tog pokrivanja da izdvojis konacno mnogo skupova koji i dalje pokrivaju tvoj polazni skup [inlmath][a,b][/inlmath]. Dakle, nikakve podskupove ne uzmes od tih intervala koji pokrivaju skup, vec samo znas da mozes da iz svog pokrivanja (beskonacnog) eliminises neke skupove, tako da ostane konacno mnogo njih, a da oni i dalje cine pokrivanje.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Trougao » Nedelja, 25. Oktobar 2015, 21:25

Kad kazes ili kako to vec pise u skripti da pokrijem interval [inlmath][a,b][/inlmath] zasto se onda u dokazu teoreme radi sa pod intervalima od [inlmath][a,b][/inlmath]?
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Onomatopeja » Nedelja, 25. Oktobar 2015, 21:33

Ne znam gde si video da se radi samo s podintervalima? Ako je nesto otvoren pokrivac od [inlmath][a,b][/inlmath], onda se svakako ne moze desiti da je [inlmath]J\subset[a,b][/inlmath] za svakog clana tog pokrivaca [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath], jer bi onda i [inlmath]\bigcup\limits_{J\in\mathcal{J}}\subset [a,b][/inlmath].
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Trougao » Nedelja, 25. Oktobar 2015, 22:09

Pa on deli intervale na [inlmath]\frac{a+b}{2^n}[/inlmath] to su podintervali zar ne? Mislim jel on ovde stigne do [inlmath](\lambda,\mu)[/inlmath] kao opsti slucaj da dokaze njegovo tvrdjenje pa onda to vazi sa sve intervale.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Borel–Lebegova teorema

Postod Onomatopeja » Nedelja, 25. Oktobar 2015, 22:26

Hm, hm. On jeste da uzima podintervale, ali oni ne cine elemente tog pokrivaca. Ja sam tvoj post tako interpretirao, da si rekao da podintervali od [inlmath][a,b][/inlmath] (i samo oni) cine pokrivac. Dobro, zanemarimo to.

Sta on radi? Pa nista, dovoljno usitni podelu segmenta [inlmath][a,b][/inlmath] pri cemu svako novo biranje segmenta [inlmath]I_n[/inlmath] formira tako da se iz pocetnog pokrivanja ne moze izvuci konacno potpokrivanje za [inlmath]I_n[/inlmath]. A onda, pokaze da postoji neki otvoren interval [inlmath](\lambda,\mu)[/inlmath] koji pripada pokrivacu, i koji kao sam za sebe pokriva [inlmath]I_n[/inlmath], tj. [inlmath]I_n\subset(\lambda,\mu)[/inlmath]. Time je dosao u kontradikciju s pretpostavkom da ne postoji konacno potpokrivanje za [inlmath]I_n[/inlmath] (prema konstrukciji tog skupa), jer je uspeo da pokrije [inlmath]I_n[/inlmath] s jednim (sto je konacno) intervalom iz pocetnog pokrivaca.

Bilo kako bilo, ponovo procitaj dokaz, promisli, slika, promisli, promisli.
 
Postovi: 588
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 555 puta

Sledeća

Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Decembar 2018, 05:54 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs