Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Subota, 24. Oktobar 2015, 19:06
od Trougao
Ljudi tesko meni. Profa analize jurisa nezadrzivo napred. Totalno me buni ova teorema(kao i sve ove apstraktne stvari). Prvo je definisao pokrivace, ali dzabe ja nisam skapirao sta je pokrivac, pa je onda iskazao i dokazao ovu teoremu. Moze li neko da objasni ovo cudo. Mi krecemo od standarnih aksioma realnih brojeva + aksioma supremuma.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Subota, 24. Oktobar 2015, 19:20
od Onomatopeja
Ja sam upoznat s datom teoremom (koja se kasnije u okviru topologije uzima kao definicija kompaktnog skupa, ali, o tom potom). Kako god, smatram da ovom uvodnom postu fali dodatnih objasnjenja. Dakle, kako je profesor definisao pokrivac (i to verovatno otvoren, sto je bitno), kao i sami delovi koji posle u dokazu same teoreme nisu jasni. Hajmo sad, korak po korak.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Subota, 24. Oktobar 2015, 21:06
od Trougao
Evo saljem kako je to u skripti od Darka Milinkovica Matematicka analiza 1 definisano i po kojoj profesor ide. Saljem kao sliku zato sto ne znam sve znake da otkucam u latexu. A i ima mnogo teksta. Trebaju mi sati da rastumacim sta pise na malo vise od pola a4 strane tim tempom nikad necu nista uraditi.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Subota, 24. Oktobar 2015, 21:38
od Onomatopeja
U redu, sad imamo nesto. Prvo, rekao si da ti nije jasna definicija pokrivaca. Naime, to nije nista posebno tesko, ali razumem da ljudima koji se prvi put susrecu sa ovim to moze predstavljati problem. Kako god, imamo ovu definiciju pokrivaca, ali intuitivno, pokrivac za skup [inlmath]A[/inlmath] je skup nekih skupova (iliti familija skupova) cija unija sadrzi [inlmath]A[/inlmath]. Dakle, sa tim skupovima iz tog pokrivaca mozemo prekriti skup [inlmath]A[/inlmath]. Na primer, ako je [inlmath]A=(-2,4)\cup(125,10000)[/inlmath] tada bi
[dispmath]\mathcal{J}=\{(-4,0],(10,130],(-3,-1),(126,300),(235,1000),(-1/2,7],(728,1000001]\}[/dispmath]
bio jedan pokrivac skupa [inlmath]A[/inlmath], jer je
[dispmath]\bigcup_{J\in\mathcal{J}}J=(-4,0]\cup(10,130]\cup(-3,-1)\cup(126,300)\cup(235,1000)\cup(-1/2,7]\cup(728,1000001]=\\
=(-4,7]\cup(10,1000001],[/dispmath]
a kako je
[dispmath]A=(-2,4)\cup(125,10000)\subseteq(-4,7]\cup(10,1000001][/dispmath]
to onda vidimo da [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] jeste jedan pokrivac za [inlmath]A[/inlmath]. Potpokrivac je bilo koji podskup od [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] koji i sam pokriva [inlmath]A[/inlmath], tj. to je familija nastala od familije [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] kada smo izbacili iz nje (iz [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath]) nekoliko clanova, ali takva nova familija i dalje pokriva [inlmath]A[/inlmath]. Na primer, iz prethodnog primera mozemo izbaciti skup [inlmath](-3,-1)[/inlmath], a takva familija [inlmath]\mathcal{J}_0=\mathcal{J}\setminus\{(-3,-1)\}[/inlmath] i dalje pokriva [inlmath]A[/inlmath].

U tvojoj teoremi obrati paznju da radimo sa otvorenim pokrivanjem, tj. da su svi skupovi iz [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath] otvoreni (oblika [inlmath](c,d)[/inlmath] za neke [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] iz [inlmath]\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}[/inlmath]).

U redu, ako je ovo jasno, predji na dokaz. Procitaj jednom, promisli. Procitaj drugi put, promisli, nacrtaj sliku, misli. Onda, ako i dalje imas problem, pitaj, ali konkretno, sta ti nije jasno.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 21:46
od Trougao
Ono sto je najbizarnije ja sam zapamtio dokaz veoma lako sa sve crtezom. Ali problem je sto ja ne shvatam sta ja tu dokazujem dal to znaci da ja naprimer ako segment [inlmath][a,b][/inlmath] na primer pokrijem ovako [inlmath][a,b]\subset(c,d)[/inlmath] da ja mogu da uzmem bilo koje pokrivanje to jest da ono postoji tako da je [inlmath][a,b]\subset(k,m)\subset(c,d)[/inlmath]?

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 22:16
od Onomatopeja
Ne, ne. To ne bi bilo u duhu same teoreme, kao i ideje koja stoji iza nje. Sustina je, kad imas neko otvoreno pokrivanje skupa [inlmath][a,b][/inlmath], sa beskonacno otvorenih intervala, da onda mozes iz tog pokrivanja da izdvojis konacno mnogo skupova koji i dalje pokrivaju tvoj polazni skup [inlmath][a,b][/inlmath]. Dakle, nikakve podskupove ne uzmes od tih intervala koji pokrivaju skup, vec samo znas da mozes da iz svog pokrivanja (beskonacnog) eliminises neke skupove, tako da ostane konacno mnogo njih, a da oni i dalje cine pokrivanje.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 22:25
od Trougao
Kad kazes ili kako to vec pise u skripti da pokrijem interval [inlmath][a,b][/inlmath] zasto se onda u dokazu teoreme radi sa pod intervalima od [inlmath][a,b][/inlmath]?

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 22:33
od Onomatopeja
Ne znam gde si video da se radi samo s podintervalima? Ako je nesto otvoren pokrivac od [inlmath][a,b][/inlmath], onda se svakako ne moze desiti da je [inlmath]J\subset[a,b][/inlmath] za svakog clana tog pokrivaca [inlmath]\mathcal{J}[/inlmath], jer bi onda i [inlmath]\bigcup\limits_{J\in\mathcal{J}}\subset [a,b][/inlmath].

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 23:09
od Trougao
Pa on deli intervale na [inlmath]\frac{a+b}{2^n}[/inlmath] to su podintervali zar ne? Mislim jel on ovde stigne do [inlmath](\lambda,\mu)[/inlmath] kao opsti slucaj da dokaze njegovo tvrdjenje pa onda to vazi sa sve intervale.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 23:26
od Onomatopeja
Hm, hm. On jeste da uzima podintervale, ali oni ne cine elemente tog pokrivaca. Ja sam tvoj post tako interpretirao, da si rekao da podintervali od [inlmath][a,b][/inlmath] (i samo oni) cine pokrivac. Dobro, zanemarimo to.

Sta on radi? Pa nista, dovoljno usitni podelu segmenta [inlmath][a,b][/inlmath] pri cemu svako novo biranje segmenta [inlmath]I_n[/inlmath] formira tako da se iz pocetnog pokrivanja ne moze izvuci konacno potpokrivanje za [inlmath]I_n[/inlmath]. A onda, pokaze da postoji neki otvoren interval [inlmath](\lambda,\mu)[/inlmath] koji pripada pokrivacu, i koji kao sam za sebe pokriva [inlmath]I_n[/inlmath], tj. [inlmath]I_n\subset(\lambda,\mu)[/inlmath]. Time je dosao u kontradikciju s pretpostavkom da ne postoji konacno potpokrivanje za [inlmath]I_n[/inlmath] (prema konstrukciji tog skupa), jer je uspeo da pokrije [inlmath]I_n[/inlmath] s jednim (sto je konacno) intervalom iz pocetnog pokrivaca.

Bilo kako bilo, ponovo procitaj dokaz, promisli, slika, promisli, promisli.

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 23:31
od Trougao
Zahvaljujem moracu da se bacim u duboku meditaciju da shvatim ovo + tonu slicnih tvrdjenja. Valjda necu proci analizu 1 samo sa 6 :think1:

Re: Borel–Lebegova teorema

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2015, 23:35
od Onomatopeja
Nema na cemu. U celom tom procesu ucenja najbitnije ti je da shvatis sta se konkretno radi u dokazu (i to ne samo u ovom, vec globalno), tj. koja je ideja, a same tehnicke stvari ces onda (vremenom) i sam znati da popunis.