Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Postod Gandalf » Utorak, 09. Februar 2016, 01:36

Pozdrav svima.

Nadam se da sam pogodio pravi podforum, pošto mi ovo ne izgleda zadatak za klasične diferencijalne jednačine.

Da li zna iko na koji princip se ovaj tip zadatka radi, pošto mi stvarno ništa ne ide u glavu; kako da se odredi ta nepoznata funkcija i šta bi uopšte predstavljala ova diferencijalna jednačina.

Zadatak glasi:

~Odrediti diferencijalnu jednačinu [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm du\mathrm dv}-\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm du^2}+\frac{\mathrm df}{\mathrm dv}=0[/inlmath] za nepoznatu funkciju [inlmath]f=f(x,y)[/inlmath], ako je [inlmath]\displaystyle x=\frac{u^3}{v^2}[/inlmath] , a [inlmath]\displaystyle y=u^2-\frac{1}{v^2}[/inlmath].

Hvala unaprijed ako neko slučajno baci oko i okači bilo kakav komentar.
Gandalf  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Postod Onomatopeja » Utorak, 09. Februar 2016, 14:38

Prvo, da razjasnimo neke stvari. Naime, kako je [inlmath]f[/inlmath] funkcija dve promenljive, to ovde govorimo o parcijalnim izvodima, a samim tim je umesto [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm du\mathrm dv}[/inlmath] (sto i nema bas smisla) trebalo da pise [inlmath]\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}[/inlmath]. Dakle, samim tim ovo nije diferencijalna jednacina, vec parcijalna diferencijalna jednacina drugog reda.

E sad, i sam tekst „Odrediti diferencijalnu jednačinu“ po mom misljenju nema puno smisla. Ono sto ja mislim da se ovde trazi jeste da se ova parcijalna diferencijalna jednacina po [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath] pretvori u parcijalnu diferencijalnu jednacinu po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] i da je to sve.

Kako bismo imali potpuniji uvid u cemu je ovde zapravo stvar, to bih te zamolio da kazes odakle je ovaj zadatak, kako se zove doticni predmet (ako postoji), i sta je radjeno pre i posle ovoga. Kada to budemo znali, onda mozemo nesto konkretnije da kazemo o samom problemu.
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

  • +1

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Postod Gandalf » Utorak, 09. Februar 2016, 17:17

@Onomatopeja

U pravu si, ovo jesu u pitanju parcijalni izvodi, moja greška pa nisam dobro ukucao u Latex-u. I svih ovih dana razbijanja glave kako da ga uradim, mislim da sam pronašao rješenje.

Mislim da si u pravu, zadatak je banalan samim time i zvuči glupo; potrebno je samo "prebaciti" nepoznatu funkciju [inlmath]f(x,y)=f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)=\Phi(u,v)[/inlmath] u [inlmath]x,y[/inlmath] oblik.

E sad, ja sam to radio po definiciji za parcijalne izvode višeg reda
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial u\partial v}=\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right]=\\
=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u\partial v}[/dispmath]
Dalje za ovaj drugi član sam radio ovako
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}[/dispmath]
Treći član bi izgledao ovako
[dispmath]\frac{\partial\Phi}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}[/dispmath]
Nakon toga bi išao račun i to je to ako se ne varam.

Voila.

PS. Naravno provjerite ako sam pogrešio.
Gandalf  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Postod Onomatopeja » Sreda, 10. Februar 2016, 16:14

Dobro je to.
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Postod Daniel » Petak, 12. Februar 2016, 17:32

@Gandalf
Proveri samo da li drugi sabirak glasi [inlmath]\displaystyle\frac{\partial^2\Phi}{\partial{\color{red}u}^2}[/inlmath] (kako si napisao u svom uvodnom postu), ili glasi [inlmath]\displaystyle\frac{\partial^2\Phi}{\partial{\color{red}v}^2}[/inlmath] (kako si napisao u svom postupku).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7739
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4064 puta
Pohvaljen: 4124 puta

  • +1

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

Postod Gandalf » Subota, 13. Februar 2016, 02:25

@Daniel

Da, u pravu si. Uvidjeo sam grešku koja mi je bola oči ali kasno, ne mogu editovati.

A to je jedna greška; da uvodni post je ispravan i potrebno je pronaći drugi izvod po [inlmath]u[/inlmath], samo što sam ja pogrešio sve i da jeste po [inlmath]v[/inlmath], ne ide
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial{\color{red}u}^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}[/dispmath]
već ide
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial{\color{red}v}^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}[/dispmath]
Za drugi izvod po [inlmath]u[/inlmath] bi išlo
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u^2}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u^2}[/dispmath]
Gandalf  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Oktobar 2019, 02:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs