Diferencijalna jednačina više promjenljivih

PostPoslato: Utorak, 09. Februar 2016, 00:36
od Gandalf
Pozdrav svima.

Nadam se da sam pogodio pravi podforum, pošto mi ovo ne izgleda zadatak za klasične diferencijalne jednačine.

Da li zna iko na koji princip se ovaj tip zadatka radi, pošto mi stvarno ništa ne ide u glavu; kako da se odredi ta nepoznata funkcija i šta bi uopšte predstavljala ova diferencijalna jednačina.

Zadatak glasi:

~Odrediti diferencijalnu jednačinu [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm du\mathrm dv}-\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm du^2}+\frac{\mathrm df}{\mathrm dv}=0[/inlmath] za nepoznatu funkciju [inlmath]f=f(x,y)[/inlmath], ako je [inlmath]\displaystyle x=\frac{u^3}{v^2}[/inlmath] , a [inlmath]\displaystyle y=u^2-\frac{1}{v^2}[/inlmath].

Hvala unaprijed ako neko slučajno baci oko i okači bilo kakav komentar.

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

PostPoslato: Utorak, 09. Februar 2016, 13:38
od Onomatopeja
Prvo, da razjasnimo neke stvari. Naime, kako je [inlmath]f[/inlmath] funkcija dve promenljive, to ovde govorimo o parcijalnim izvodima, a samim tim je umesto [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm du\mathrm dv}[/inlmath] (sto i nema bas smisla) trebalo da pise [inlmath]\displaystyle\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}[/inlmath]. Dakle, samim tim ovo nije diferencijalna jednacina, vec parcijalna diferencijalna jednacina drugog reda.

E sad, i sam tekst „Odrediti diferencijalnu jednačinu“ po mom misljenju nema puno smisla. Ono sto ja mislim da se ovde trazi jeste da se ova parcijalna diferencijalna jednacina po [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath] pretvori u parcijalnu diferencijalnu jednacinu po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] i da je to sve.

Kako bismo imali potpuniji uvid u cemu je ovde zapravo stvar, to bih te zamolio da kazes odakle je ovaj zadatak, kako se zove doticni predmet (ako postoji), i sta je radjeno pre i posle ovoga. Kada to budemo znali, onda mozemo nesto konkretnije da kazemo o samom problemu.

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

PostPoslato: Utorak, 09. Februar 2016, 16:17
od Gandalf
@Onomatopeja

U pravu si, ovo jesu u pitanju parcijalni izvodi, moja greška pa nisam dobro ukucao u Latex-u. I svih ovih dana razbijanja glave kako da ga uradim, mislim da sam pronašao rješenje.

Mislim da si u pravu, zadatak je banalan samim time i zvuči glupo; potrebno je samo "prebaciti" nepoznatu funkciju [inlmath]f(x,y)=f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)=\Phi(u,v)[/inlmath] u [inlmath]x,y[/inlmath] oblik.

E sad, ja sam to radio po definiciji za parcijalne izvode višeg reda
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial u\partial v}=\frac{\partial}{\partial u}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}\right]=\\
=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u\partial v}[/dispmath]
Dalje za ovaj drugi član sam radio ovako
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}[/dispmath]
Treći član bi izgledao ovako
[dispmath]\frac{\partial\Phi}{\partial v}=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}[/dispmath]
Nakon toga bi išao račun i to je to ako se ne varam.

Voila.

PS. Naravno provjerite ako sam pogrešio.

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

PostPoslato: Sreda, 10. Februar 2016, 15:14
od Onomatopeja
Dobro je to.

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

PostPoslato: Petak, 12. Februar 2016, 16:32
od Daniel
@Gandalf
Proveri samo da li drugi sabirak glasi [inlmath]\displaystyle\frac{\partial^2\Phi}{\partial{\color{red}u}^2}[/inlmath] (kako si napisao u svom uvodnom postu), ili glasi [inlmath]\displaystyle\frac{\partial^2\Phi}{\partial{\color{red}v}^2}[/inlmath] (kako si napisao u svom postupku).

Re: Diferencijalna jednačina više promjenljivih

PostPoslato: Subota, 13. Februar 2016, 01:25
od Gandalf
@Daniel

Da, u pravu si. Uvidjeo sam grešku koja mi je bola oči ali kasno, ne mogu editovati.

A to je jedna greška; da uvodni post je ispravan i potrebno je pronaći drugi izvod po [inlmath]u[/inlmath], samo što sam ja pogrešio sve i da jeste po [inlmath]v[/inlmath], ne ide
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial{\color{red}u}^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}[/dispmath]
već ide
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial v^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial{\color{red}v}^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial v^2}[/dispmath]
Za drugi izvod po [inlmath]u[/inlmath] bi išlo
[dispmath]\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^2x}{\partial u^2}+\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^2y}{\partial u^2}[/dispmath]