Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike
  • +1

Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Postod Gogele » Petak, 01. April 2016, 12:53

Nisam siguran gdje treba staviti ovu temu, pa sam je stavio ovdje. Ne ispitujem grafik funkcije, niti samo neprekidnost, a ni ne izračunavam samo njen izvod. Interesuje me da li sam tačno uradio sljedeći zadatak:

Data je funkcija [inlmath]f(x)=\bigl\vert\vert x-2\vert-\vert x+3\vert\bigr\vert[/inlmath]. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije.

Evo šta sam ja uradio:

1) Izračunao sam šta se dobije od [inlmath]\vert x-2\vert-\vert x+3\vert[/inlmath], kada [inlmath]x\in(-\infty,-3)[/inlmath], [inlmath]x\in(-3,2)[/inlmath] i [inlmath]x\in(2,+\infty)[/inlmath]. Za [inlmath]x\in(-3,2)[/inlmath], dobio sam izraz [inlmath]-2x-1[/inlmath], pa sam izračunao šta se dobije za [inlmath]f(x)=\vert-2x-1\vert[/inlmath], kada [inlmath]x\in\left(-3,\frac{-1}{2}\right)[/inlmath] i kada [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},2\right)[/inlmath].

Na kraju sam dobio da je,
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
5, & x\in(-\infty,-3)\\
-2x- 1, & x\in\left[-3,\frac{-1}{2}\right)\\
2x+1, & x\in\left[\frac{-1}{2},2\right)\\
5, & x\in[2,+\infty)
\end{cases}[/dispmath] 2) Očigledno, funkcija je neprekidna za ova četiri intervala u novoj definiciji funkcije. Takođe, dobio sam da je neprekidna i kada je [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-3[/inlmath], [inlmath]\frac{-1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], jer su mi lijevi i desni limesi funkcije u ovim tačkama jednaki vrijednosti te funkcije u tim tačkama (dakle, pomoću tog kriterijuma sam ispitivao neprekidnost u tački).

3) U dobijena četiri intervala funkcija je i diferencijabilna.

3.1) Za lijevi i desni izvod, za [inlmath]x=-3[/inlmath], dobio sam da su, redom, jednaki, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath], pa dakle tu funkcija nije diferencijabilna.

3.2) Analogno, za [inlmath]x=\frac{-1}{2}[/inlmath] dobio sam [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], dok sam za [inlmath]x=2[/inlmath] dobio [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, ni za te vrijednosti promjenljive funkcija nije diferencijablina.

Dakle, zanima me da li sam negdje u postupku pogriješio, ili možda samo u računu?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Postod desideri » Petak, 01. April 2016, 15:11

Da li si razmotrio oba slučaja koji slede iz postavke zadatka:
[dispmath]f(x)=\bigl\vert\vert x-2\vert-\vert x+3\vert\bigr\vert[/dispmath]
Prvi slučaj pri kome se direktno "skida" spoljašnja apsolutna vrednost koju si razmatrao:
[dispmath]\vert x-2\vert-\vert x+3\vert\ge0[/dispmath][dispmath]f(x)=\vert x-2\vert-\vert x+3\vert[/dispmath]
Drugi slučaj pri kome se "skida" spoljašnja apsolutna vrednost uz promenu znaka unutrašnje funkcije:
[dispmath]\vert x-2\vert-\vert x+3\vert<0[/dispmath][dispmath]f(x)=-\vert x-2\vert+\vert x+3\vert[/dispmath]
Meni na prvi pogled deluje da nisi uzeo u obzir ovaj drugi slučaj, po samoj definiciji apsolutne vrednosti. A mislim na spoljašnju apsolutnu vrednost, tako kako je zadata funkcija.
p.s. "Apsolutna" funkcija ovako zadata treba da je neprekidna u realnom domenu, no nije obavezno i diferencijabilna. Proverićemo ovo tvoje, obećavam. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1516
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1087 puta
Pohvaljen: 836 puta

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Postod Gogele » Subota, 02. April 2016, 13:12

desideri je napisao:Meni na prvi pogled deluje da nisi uzeo u obzir ovaj drugi slučaj, po samoj definiciji apsolutne vrednosti. A mislim na spoljašnju apsolutnu vrednost, tako kako je zadata funkcija.

Nisam na taj način sređivao datu funkciju. Samo sam sređivao unutrašnji izraz (Sada mislim da je moj postupak bio pogrešan.). Uradiću i postupak koji si ti naveo, pa ću da napišem šta sam dobio. Novi rezultat ću moći postaviti u ponedeljak.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Postod Gogele » Ponedeljak, 04. April 2016, 11:38

Evo šta sam dobio kada sam išao od "spoljašnje" ka "unutrašnjim" apsolutnim vrijednostima (vrlo je slično rezultatu u prvom postu):

Kao prvo imamo da je:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\vert x-2\vert-\vert x+3\vert, & \vert x-2\vert\ge\vert x+3\vert\\
-\vert x-2\vert+\vert x+3\vert, & \vert x-2\vert<\vert x+3\vert
\end{cases}[/dispmath]
Sada sam, u intervalima [inlmath](-\infty,-3)[/inlmath], [inlmath][-3,2)[/inlmath] i [inlmath][2,+\infty)[/inlmath], ispitivao kada važe dobijene nejednačine u uslovima, i dobio sam da je:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
\vert x-2\vert-\vert x+3\vert, & x\in\left(-\infty,\frac{-1}{2}\right]\\
-\vert x-2\vert+\vert x+3\vert, & x\in\left(\frac{-1}{2},+\infty\right)
\end{cases}[/dispmath]
Zatim sam sređivao dobijenu jednačinu po intervalima [inlmath](-\infty,-3)[/inlmath], [inlmath]\left[-3,-\frac{1}{2}\right][/inlmath], [inlmath]\left(-\frac{1}{2},2\right)[/inlmath] i [inlmath][2,+\infty)[/inlmath]. Dobio sam sljedeći izraz:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
5, & x\in(-\infty,-3)\\
-2x-1, & x\in\left[-3,-\frac{1}{2}\right]\\
2x+1, & x\in\left(-\frac{1}{2},2\right)\\
5, & x\in[2,+\infty)
\end{cases}[/dispmath]
1) Što se tiče neprekidnosti dobio sam da je data funkcija neprekinda na cijelom skupu realnih brojeva. Posebno sam ispitivao neprekindost u tačkama [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]. Lijeve i desne granične vrijednosti funkcije su u tim tačkama bile jednake vrijednosti funkcije u tim tačkama, što mi je bio kriterijum za postojanje neprekidnosti (sve [inlmath]5[/inlmath] za [inlmath]-3[/inlmath], sve [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath], sve [inlmath]5[/inlmath] za [inlmath]2[/inlmath]).

2) Dakle, funkcija je diferencijabilna za [inlmath]x\in(-\infty,-3)\cup\left(-3,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(-\frac{1}{2},2\right)\cup(2,+\infty)[/inlmath], ali sam dobio da nije diferencijabilna za [inlmath]-3[/inlmath], [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath].
[dispmath]f'_-(-3)=0[/dispmath][dispmath]f'_+(-3)=-2[/dispmath]
[dispmath]f'_-\left(-\frac{1}{2}\right)=-2[/dispmath][dispmath]f'_+\left(-\frac{1}{2}\right)=2[/dispmath]
[dispmath]f'_-(2)=2[/dispmath][dispmath]f'_+(2)=0[/dispmath]
To je to. Mislim da je sad sve u redu.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +2

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Postod Daniel » Utorak, 05. April 2016, 11:52

Potvrđujem ispravnost oba načina rešavanja. Čak bih rekao da je onaj način koji si priložio u prvom postu, kad si išao od unutrašnjih ka spoljašnjim apsolutnim vrednostima, u ovom slučaju brži i elegantniji, tako da je to način koji svakako preporučujem.

Naravno, uvek je korisno, vežbe radi, provežbati oba načina.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7304
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3795 puta
Pohvaljen: 3953 puta

Re: Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije

Postod Gogele » Utorak, 05. April 2016, 12:53

Odlično! Zahvaljujem na pomoći.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 15. Oktobar 2018, 13:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs