Ispitivanje diferencijabilnosti funkcije
Poslato: Petak, 01. April 2016, 11:53
Nisam siguran gdje treba staviti ovu temu, pa sam je stavio ovdje. Ne ispitujem grafik funkcije, niti samo neprekidnost, a ni ne izračunavam samo njen izvod. Interesuje me da li sam tačno uradio sljedeći zadatak:
Data je funkcija [inlmath]f(x)=\bigl\vert\vert x-2\vert-\vert x+3\vert\bigr\vert[/inlmath]. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije.
Evo šta sam ja uradio:
1) Izračunao sam šta se dobije od [inlmath]\vert x-2\vert-\vert x+3\vert[/inlmath], kada [inlmath]x\in(-\infty,-3)[/inlmath], [inlmath]x\in(-3,2)[/inlmath] i [inlmath]x\in(2,+\infty)[/inlmath]. Za [inlmath]x\in(-3,2)[/inlmath], dobio sam izraz [inlmath]-2x-1[/inlmath], pa sam izračunao šta se dobije za [inlmath]f(x)=\vert-2x-1\vert[/inlmath], kada [inlmath]x\in\left(-3,\frac{-1}{2}\right)[/inlmath] i kada [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},2\right)[/inlmath].
Na kraju sam dobio da je,
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
5, & x\in(-\infty,-3)\\
-2x- 1, & x\in\left[-3,\frac{-1}{2}\right)\\
2x+1, & x\in\left[\frac{-1}{2},2\right)\\
5, & x\in[2,+\infty)
\end{cases}[/dispmath] 2) Očigledno, funkcija je neprekidna za ova četiri intervala u novoj definiciji funkcije. Takođe, dobio sam da je neprekidna i kada je [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-3[/inlmath], [inlmath]\frac{-1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], jer su mi lijevi i desni limesi funkcije u ovim tačkama jednaki vrijednosti te funkcije u tim tačkama (dakle, pomoću tog kriterijuma sam ispitivao neprekidnost u tački).
3) U dobijena četiri intervala funkcija je i diferencijabilna.
3.1) Za lijevi i desni izvod, za [inlmath]x=-3[/inlmath], dobio sam da su, redom, jednaki, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath], pa dakle tu funkcija nije diferencijabilna.
3.2) Analogno, za [inlmath]x=\frac{-1}{2}[/inlmath] dobio sam [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], dok sam za [inlmath]x=2[/inlmath] dobio [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, ni za te vrijednosti promjenljive funkcija nije diferencijablina.
Dakle, zanima me da li sam negdje u postupku pogriješio, ili možda samo u računu?
Data je funkcija [inlmath]f(x)=\bigl\vert\vert x-2\vert-\vert x+3\vert\bigr\vert[/inlmath]. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije.
Evo šta sam ja uradio:
1) Izračunao sam šta se dobije od [inlmath]\vert x-2\vert-\vert x+3\vert[/inlmath], kada [inlmath]x\in(-\infty,-3)[/inlmath], [inlmath]x\in(-3,2)[/inlmath] i [inlmath]x\in(2,+\infty)[/inlmath]. Za [inlmath]x\in(-3,2)[/inlmath], dobio sam izraz [inlmath]-2x-1[/inlmath], pa sam izračunao šta se dobije za [inlmath]f(x)=\vert-2x-1\vert[/inlmath], kada [inlmath]x\in\left(-3,\frac{-1}{2}\right)[/inlmath] i kada [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},2\right)[/inlmath].
Na kraju sam dobio da je,
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
5, & x\in(-\infty,-3)\\
-2x- 1, & x\in\left[-3,\frac{-1}{2}\right)\\
2x+1, & x\in\left[\frac{-1}{2},2\right)\\
5, & x\in[2,+\infty)
\end{cases}[/dispmath] 2) Očigledno, funkcija je neprekidna za ova četiri intervala u novoj definiciji funkcije. Takođe, dobio sam da je neprekidna i kada je [inlmath]x[/inlmath] jednak [inlmath]-3[/inlmath], [inlmath]\frac{-1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], jer su mi lijevi i desni limesi funkcije u ovim tačkama jednaki vrijednosti te funkcije u tim tačkama (dakle, pomoću tog kriterijuma sam ispitivao neprekidnost u tački).
3) U dobijena četiri intervala funkcija je i diferencijabilna.
3.1) Za lijevi i desni izvod, za [inlmath]x=-3[/inlmath], dobio sam da su, redom, jednaki, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath], pa dakle tu funkcija nije diferencijabilna.
3.2) Analogno, za [inlmath]x=\frac{-1}{2}[/inlmath] dobio sam [inlmath]-2[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], dok sam za [inlmath]x=2[/inlmath] dobio [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, ni za te vrijednosti promjenljive funkcija nije diferencijablina.
Dakle, zanima me da li sam negdje u postupku pogriješio, ili možda samo u računu?