Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Aritmetička i geometrijska sredina

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Aritmetička i geometrijska sredina

Postod ffilipovicc98 » Petak, 12. Avgust 2016, 19:15

Pozdrav, rešavajući logaritamske jednačine i nejednačine, zatrebala mi je nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine (Zadatak je dokazati da važi [inlmath]\log^3_{abc}a\cdot\log_ab\cdot\log_ac\le\frac{1}{27}[/inlmath] ako su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] veći od nule), pa ako bi neko mogao da napiše nešto više o tome ili da okači neki link gde je to već urađeno i o primeni u drugim oblastima pošto sam našao takođe da visina u pravouglom trouglu deli hipotenuzu na dva dela koji takođe imaju veze sa geometrijskom sredinom. Na wikipediji sam našao i jos neke pojmove kvadratna, kubna i harmonijska sredina pa ima li to negde primenu i da li to spada u statistiku(pošto se meni čini da nema veze zato sam pitanje okačio u ostale oblasti matematike)?
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

Postod desideri » Petak, 12. Avgust 2016, 21:18

Hajde da vidimo.
Harmonijska, geometrijska i aritmetička sredina su u sledećem odnosu, respektivno:
[dispmath]H\le G\le{\overline X}[/dispmath]
Pošto tebi nije potrebna ova harmonijska, evo tumačenja za ove druge dve sredine.
Neko je rekao (ko sve nije rekao :) ) da je matematička statistika nauka o sredinama.
Aritmetička sredina se dobija najprostije rečeno kada sabereš neke brojeve i podeliš ih s brojem tih brojeva, npr:
[dispmath](2+4+8)/3=\frac{14}{3}\approx4.667[/dispmath]
Geometrijska sredina se dobija kada pomnožiš te brojeve i u ovom primeru (pošto je tri broja izvadiš treći koren iz proizvoda ta tri broja):
[dispmath]\sqrt[3]{2\cdot4\cdot8}=4[/dispmath]
Ako su potrebne formule, dokazi, dodatna pojašnjenja itd samo postuj. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

Postod ffilipovicc98 » Petak, 12. Avgust 2016, 22:21

Ovo je jasno, ako nije tesko dobro bi doslo malo detaljnije. Neka primena ili formula ili nešto što može da pomogne u rešavanju ovog zadatka sa logaritmima. Šta je sa onom razlikom između ovih sredina?
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

Postod Daniel » Subota, 13. Avgust 2016, 09:26

Prebaci [inlmath]\log_{abc}^3a[/inlmath] na desnu stranu, zatim levu stranu pomnoži jedinicom i tu jedinicu napiši u obliku [inlmath]\log_aa[/inlmath]. Zatim, primeti da na desnoj strani imaš tačan kub, što te nekako navodi da primeniš kubni koren na obe strane jednakosti. Nakon toga će, ja mislim, biti sasvim očigledno...

BTW pored zadatih uslova [inlmath]a,b,c>0[/inlmath], u tekstu zadatka bi morao biti zadat i uslov [inlmath]abc\ne1[/inlmath] da bi logaritam [inlmath]\log_{abc}a[/inlmath] bio definisan, kao i uslov [inlmath]a\ne1[/inlmath] da bi logaritmi [inlmath]\log_ab[/inlmath] i [inlmath]\log_ac[/inlmath] bili definisani...

ffilipovicc98 je napisao:pošto sam našao takođe da visina u pravouglom trouglu deli hipotenuzu na dva dela koji takođe imaju veze sa geometrijskom sredinom.

U vezi s ovim, možeš pogledati ovu temu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7739
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4064 puta
Pohvaljen: 4124 puta

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

Postod ubavic » Subota, 13. Avgust 2016, 12:48

Što se tiče literature imaš na sajtu srb.imomath.com, u sklopu pripremnog materijala, imaš ovaj pdf dokument Nejednakosti (zadaci sa rešenjima).
Ja ću se malo nadovezati na desiderijev post (i koristiću oznaku [inlmath]A[/inlmath] za aritmetičku sredinu)
[dispmath]H\le G\le A[/dispmath]A ovo su definicije tih oznaka:
[dispmath]H(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac1{x_i}}\\
G(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^nx_i\right)^\frac{1}{n}\\
A(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i[/dispmath]
Sve ove sredine su manje od najvećeg elementa iz skupa [inlmath]\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/inlmath], i veće od najmanjeg elementa iz skupa [inlmath]\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/inlmath], odnosno:
[dispmath]\min\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\le H\le G\le A\le\max\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/dispmath]
Jednakosti važe samo ako je [inlmath]x_1=x_2=\cdots=x_n[/inlmath].
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 530
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 517 puta

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

Postod ffilipovicc98 » Subota, 13. Avgust 2016, 19:41

Hvala na uputstvima Danielu, posle navedenih transformacija uspeo sam da svedem na sledeće:
[dispmath]\log_aa\cdot\log_ab\cdot\log_ac\le\bigg(\frac{\log_aa+\log_ab+\log_ac}{3}\bigg)^3[/dispmath]
Pa ako uvedemo smene:
[dispmath]x=\log_aa\\
y=\log_ab\\
z=\log_ac[/dispmath]
Dobijamo
[dispmath]x\cdot y\cdot z\le\bigg(\frac{x+y+z}{3}\bigg)^3[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\le\frac{x+y+z}{3}[/dispmath]
Ovo je upravo [inlmath]G\le A[/inlmath], kao što su postovali desideri i ubavic, tako da sam sad razumeo ovo, takođe hvala i na linkovanoj literaturi! :thumbup:
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Oktobar 2019, 01:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs