Stranica 1 od 1

Aritmetička i geometrijska sredina

PostPoslato: Petak, 12. Avgust 2016, 18:15
od ffilipovicc98
Pozdrav, rešavajući logaritamske jednačine i nejednačine, zatrebala mi je nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine (Zadatak je dokazati da važi [inlmath]\log^3_{abc}a\cdot\log_ab\cdot\log_ac\le\frac{1}{27}[/inlmath] ako su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] veći od nule), pa ako bi neko mogao da napiše nešto više o tome ili da okači neki link gde je to već urađeno i o primeni u drugim oblastima pošto sam našao takođe da visina u pravouglom trouglu deli hipotenuzu na dva dela koji takođe imaju veze sa geometrijskom sredinom. Na wikipediji sam našao i jos neke pojmove kvadratna, kubna i harmonijska sredina pa ima li to negde primenu i da li to spada u statistiku(pošto se meni čini da nema veze zato sam pitanje okačio u ostale oblasti matematike)?

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

PostPoslato: Petak, 12. Avgust 2016, 20:18
od desideri
Hajde da vidimo.
Harmonijska, geometrijska i aritmetička sredina su u sledećem odnosu, respektivno:
[dispmath]H\le G\le{\overline X}[/dispmath]
Pošto tebi nije potrebna ova harmonijska, evo tumačenja za ove druge dve sredine.
Neko je rekao (ko sve nije rekao :) ) da je matematička statistika nauka o sredinama.
Aritmetička sredina se dobija najprostije rečeno kada sabereš neke brojeve i podeliš ih s brojem tih brojeva, npr:
[dispmath](2+4+8)/3=\frac{14}{3}\approx4.667[/dispmath]
Geometrijska sredina se dobija kada pomnožiš te brojeve i u ovom primeru (pošto je tri broja izvadiš treći koren iz proizvoda ta tri broja):
[dispmath]\sqrt[3]{2\cdot4\cdot8}=4[/dispmath]
Ako su potrebne formule, dokazi, dodatna pojašnjenja itd samo postuj. :)

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

PostPoslato: Petak, 12. Avgust 2016, 21:21
od ffilipovicc98
Ovo je jasno, ako nije tesko dobro bi doslo malo detaljnije. Neka primena ili formula ili nešto što može da pomogne u rešavanju ovog zadatka sa logaritmima. Šta je sa onom razlikom između ovih sredina?

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

PostPoslato: Subota, 13. Avgust 2016, 08:26
od Daniel
Prebaci [inlmath]\log_{abc}^3a[/inlmath] na desnu stranu, zatim levu stranu pomnoži jedinicom i tu jedinicu napiši u obliku [inlmath]\log_aa[/inlmath]. Zatim, primeti da na desnoj strani imaš tačan kub, što te nekako navodi da primeniš kubni koren na obe strane jednakosti. Nakon toga će, ja mislim, biti sasvim očigledno...

BTW pored zadatih uslova [inlmath]a,b,c>0[/inlmath], u tekstu zadatka bi morao biti zadat i uslov [inlmath]abc\ne1[/inlmath] da bi logaritam [inlmath]\log_{abc}a[/inlmath] bio definisan, kao i uslov [inlmath]a\ne1[/inlmath] da bi logaritmi [inlmath]\log_ab[/inlmath] i [inlmath]\log_ac[/inlmath] bili definisani...

ffilipovicc98 je napisao:pošto sam našao takođe da visina u pravouglom trouglu deli hipotenuzu na dva dela koji takođe imaju veze sa geometrijskom sredinom.

U vezi s ovim, možeš pogledati ovu temu.

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

PostPoslato: Subota, 13. Avgust 2016, 11:48
od ubavic
Što se tiče literature imaš na sajtu srb.imomath.com, u sklopu pripremnog materijala, imaš ovaj pdf dokument Nejednakosti (zadaci sa rešenjima).
Ja ću se malo nadovezati na desiderijev post (i koristiću oznaku [inlmath]A[/inlmath] za aritmetičku sredinu)
[dispmath]H\le G\le A[/dispmath]A ovo su definicije tih oznaka:
[dispmath]H(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{n}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac1{x_i}}\\
G(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^nx_i\right)^\frac{1}{n}\\
A(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i[/dispmath]
Sve ove sredine su manje od najvećeg elementa iz skupa [inlmath]\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/inlmath], i veće od najmanjeg elementa iz skupa [inlmath]\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/inlmath], odnosno:
[dispmath]\min\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\le H\le G\le A\le\max\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}[/dispmath]
Jednakosti važe samo ako je [inlmath]x_1=x_2=\cdots=x_n[/inlmath].

Re: Aritmetička i geometrijska sredina

PostPoslato: Subota, 13. Avgust 2016, 18:41
od ffilipovicc98
Hvala na uputstvima Danielu, posle navedenih transformacija uspeo sam da svedem na sledeće:
[dispmath]\log_aa\cdot\log_ab\cdot\log_ac\le\bigg(\frac{\log_aa+\log_ab+\log_ac}{3}\bigg)^3[/dispmath]
Pa ako uvedemo smene:
[dispmath]x=\log_aa\\
y=\log_ab\\
z=\log_ac[/dispmath]
Dobijamo
[dispmath]x\cdot y\cdot z\le\bigg(\frac{x+y+z}{3}\bigg)^3[/dispmath][dispmath]\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\le\frac{x+y+z}{3}[/dispmath]
Ovo je upravo [inlmath]G\le A[/inlmath], kao što su postovali desideri i ubavic, tako da sam sad razumeo ovo, takođe hvala i na linkovanoj literaturi! :thumbup: