Stranica 1 od 1

Parcijalni izvod

PostPoslato: Nedelja, 25. Septembar 2016, 14:02
od ss_123
Zadatak je zapravo iz fizike, ali mi je nejasan jedan dio koji je iz matematike.
Imam izraz [inlmath]\displaystyle E=\frac{bU}{a(b-a)}[/inlmath]
Treba mi vrijednost [inlmath]a[/inlmath], za koju je [inlmath]E[/inlmath] minimalno.
Ideja je, jel tako, posmatrati [inlmath]E[/inlmath] kao funkciju, pa uraditi parcijalni izvod [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm dE}{\mathrm da}[/inlmath], zatim ga izjednaciti sa nulom i izraziti [inlmath]a[/inlmath].
Ali ja dobijem rjesenje [inlmath]\displaystyle\frac{-bU(b-2a)}{a^2(b-a)^2}[/inlmath], a u zbirci je rjesenje: [inlmath]bU(b-2a)[/inlmath]
Druga stvar koja mi nije jasna; drugi izvod (njihovog rjesenja) je manji od nule, pa [inlmath]E[/inlmath] ima maksimum, a ne minimum.
U cemu ja grijesim?

Re: Parcijalni izvod

PostPoslato: Nedelja, 25. Septembar 2016, 22:10
od Daniel
ss_123 je napisao:Imam izraz [inlmath]\displaystyle E=\frac{bU}{a(b-a)}[/inlmath]
Treba mi vrijednost [inlmath]a[/inlmath], za koju je [inlmath]E[/inlmath] minimalno.
Ideja je, jel tako, posmatrati [inlmath]E[/inlmath] kao funkciju, pa uraditi parcijalni izvod [inlmath]\displaystyle\frac{\mathrm dE}{\mathrm da}[/inlmath], zatim ga izjednaciti sa nulom i izraziti [inlmath]a[/inlmath].

Uopšte ne mora preko izvoda. Da bi [inlmath]E[/inlmath] bilo minimalno, pošto je izraz u brojiocu ([inlmath]bU[/inlmath]) konstantan, treba da izraz u imeniocu bude maksimalan. Izraz u imeniocu je jednak [inlmath]-a^2+ba[/inlmath], što predstavlja kvadratnu funkciju po [inlmath]a[/inlmath] čije je teme okrenuto prema gore, što znači da ona ima maksimum. Promenljivu [inlmath]a[/inlmath] pri kojoj je izraz [inlmath]-a^2+ba[/inlmath] maksimalan lako odrediš po formuli za [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temana kvadratne funkcije, koja glasi [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath] ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] iz ove formule ne mešaj s [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] u datom izrazu).

ss_123 je napisao:Ali ja dobijem rjesenje [inlmath]\displaystyle\frac{-bU(b-2a)}{a^2(b-a)^2}[/inlmath], a u zbirci je rjesenje: [inlmath]bU(b-2a)[/inlmath]

Ako se traži izvod funkcije [inlmath]\displaystyle E=\frac{bU}{a(b-a)}[/inlmath], onda je tvoje rešenje tačno. Nzm da li to što su u zbirci napisali predstavlja izvod te funkcije (u tom slučaju je greška), ili predstavlja nešto drugo – nemam uvid.
Ali, kao što rekoh, traženje izvoda je ovde nepotrebno.

Re: Parcijalni izvod

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Septembar 2016, 11:36
od desideri
U potpunosti se slažem s Danielovim postupkom uz jednu primedbu za korisnika ss_123.
Parcijalni izvod označava se ovako:
[dispmath]\frac{\partial E}{\partial a}[/dispmath]
Znam da je nepravilno parcijalni izvod pisati kao totalni izvod, tj [inlmath]\frac{\mathrm dE}{\mathrm dx}[/inlmath].

Re: Parcijalni izvod

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Septembar 2016, 21:30
od ss_123
Pa u ovom zadatku ne mora, ali mislio sam da pomocu izvoda moze da se rijesi svaki zadatak (da ne moram svaki put razmisljati na koji cu nacin raditi).
Ali nisam siguran kako bi se ovaj zadatak uradio pomocu izvoda...

Re: Parcijalni izvod

PostPoslato: Sreda, 28. Septembar 2016, 08:10
od Daniel
Upravo na taj način na koji si i krenuo.
Kao što ti rekoh, tačan je izraz koji si ti dobio za prvi izvod, sad ga samo treba izjednačiti s nulom, odakle dobiješ [inlmath]a=\frac{b}{2}[/inlmath], što bi isto dobio i kad bi radio na način koji sam ti ja pokazao (preko koordinata temena kvadratne funkcije).
Možeš i pojednostaviti postupak preko izvoda, tako što primetiš da je [inlmath]E=\frac{bU}{a(b-a)}[/inlmath] minimalno onda kada je imenilac [inlmath]a(b-a)[/inlmath] maksimalan, pa tražiš izvod od [inlmath]a(b-a)[/inlmath] i izjednačiš ga s nulom (izvod tog izraza ti je za nijansu lakše da nađeš ako sve izmnožiš i dobiješ [inlmath]ab-a^2[/inlmath], jer tada ti ne treba formula za izvod proizvoda). I traženje drugog izvoda ti je onda mnogo lakše nego da si tražio izvod celog izraza [inlmath]E=\frac{bU}{a(b-a)}[/inlmath]...

Re: Parcijalni izvod

PostPoslato: Sreda, 28. Septembar 2016, 18:20
od ss_123
Upravo to objasnjenje mi je trebalo. Taj nacin i jeste koristen u zbirci (i zbog toga je dolazilo do zabune. otkud ono rjesenje izvoda), ali ja to nisam prepoznao.
Hvala puno :)