Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Postod Herien Wolf » Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:53

Na vežbama smo radili razne nejednakosti, među kojima je i Koši–Švarcova (en. Cauchy–Schwarz Inequality) nejednakost.
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+\cdots+{y_n}^2\right)\ge\left(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\right)^2[/dispmath] Zadatak glasi, primenom Koši-Švarca dokazati [inlmath]A_n{\ge}H_n[/inlmath] Ovde je [inlmath]A_n[/inlmath] aritmetička a [inlmath]H_n[/inlmath] harmonijska sredina.
Iskreno meni nije najjasnije kako da izrazim [inlmath]y[/inlmath] iz Koši–Švarcove. Kada bismo zamenili [inlmath]y=1[/inlmath] dobili bismo nejednakost oblika [inlmath]n\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\ge\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2[/inlmath]
Mada ja stvarno trenutno nemam ideju. Možda postoji neki drugi oblik ove nejednakosti koja bi odgovarala datom zadatku.

Meni ne treba urađen zadatak sad već samo taj početak odnosno kako da krenem sa dokazom (možda ni nema potrebe za eliminisanjem [inlmath]y[/inlmath] iz nejednakosti).
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Postod desideri » Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:58

Po meni je ovo više za rubriku "Matematička statistika".
Ako se slažeš, kao i članovi moderatorskog tima, da ja to prebacim?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Postod Daniel » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:25

Zapravo sam ja Herien Wolfu predložio da ovo stavi u „Ostale oblasti analize“ jer smo tu već imali temu o nejednakosti sredina.
Ali, u principu, može u „Matematičku statistiku“, a možda onda tamo prebaciti i tu drugu temu?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7739
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4064 puta
Pohvaljen: 4124 puta

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Postod Herien Wolf » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:29

U međuvremenu sam uradio zadatak, moram priznati da je rešenje trivijalno mada sam ja iz prve imao pogrešan način razmišljanja.
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+\cdots+{y_n}^2\right)\ge\left(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\right) ^2[/dispmath]
Radi boljeg razumevanja izmeniću formulu
[dispmath]\left({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2\right)\left({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2\right)\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right) ^2[/dispmath]
[dispmath]A_n=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}[/dispmath][dispmath]H_n=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/dispmath]
Nakon ovoga izrazimo da je [inlmath]{a_i}^2=x_i[/inlmath] i [inlmath]{b_i}^2=\frac{1}{x_i}[/inlmath] gde je [inlmath]i=1,2,3,\ldots,n[/inlmath]
Kad ovo uvrstimo u nejednakost dobijamo
[dispmath]\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1}}+\frac{\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_2}}+\cdots+\frac{\sqrt{x_n}}{\sqrt{x_n}}\right)^2=n^2[/dispmath]
Odavde imamo
[dispmath]\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Postod Trougao » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:43

Mislim da ne moze tako tj. bar ja ne znam nacin da se uz pomoc Kosi-Svarca dokaze direktno nejednakost izmedju harmonijske i aritmeticke sredine. On se koristi koliko ja znam za dokazivanje nejednakosti izmedju kvadratne i aritmeticke sredine.
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+\cdots+{y_n}^2\right)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_n y_n)^2[/dispmath]
Postavimo da svi [inlmath]y_i=1,\;i\in\{1,2,\ldots,n\}[/inlmath]
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)n\geq(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2[/dispmath]
Podelimo obe strane sa [inlmath]n^2[/inlmath] i korenujemo obe:
[dispmath]\frac{\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)}{n}\geq\big(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\big)^2\\
\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}[/dispmath]
Dokaz nejednakosti izmedju geometrijske i harmonijske sredine ide iz nejednakosti aritmeticke i geometrijske:
[dispmath]\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdot\cdots\cdot x_n}[/dispmath]
Odaberemo neke [inlmath]y_i>0,\;i\in\{1,2,\ldots,n\}[/inlmath] i postavimo [inlmath]x_i=\frac{1}{y_i},\;i\in\{1,2,\ldots,n\}[/inlmath]
[dispmath]\frac{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\cdots+\frac{1}{y_n}}{n}\geq\frac{1}{\sqrt[n]{y_1y_2\cdot\cdots\cdot y_n}}\\
\sqrt[n]{y_1y_2\cdot\cdots\cdot y_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\cdots+\frac{1}{y_n}}[/dispmath]
A geometrijska je manja od aritmeticke (moze indukcijom ili preko Jensenove nejednakosti).

Tek sad videh da je @Herien okacio resenje taman naucih nesta novo :mrgreen:
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

Postod desideri » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:51

Jeste, to je to. Uz rizik da odem u offtopic, moram da kažem da su naši zaslužni forumaši sjajni. A da li će tema biti prebačena negde drugde, nebitno. Bitno je da je na Matemaniji! :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Oktobar 2019, 01:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs