Stranica 1 od 1

Primena Koši–Švarcove nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 18:53
od Herien Wolf
Na vežbama smo radili razne nejednakosti, među kojima je i Koši–Švarcova (en. Cauchy–Schwarz Inequality) nejednakost.
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+\cdots+{y_n}^2\right)\ge\left(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\right)^2[/dispmath] Zadatak glasi, primenom Koši-Švarca dokazati [inlmath]A_n{\ge}H_n[/inlmath] Ovde je [inlmath]A_n[/inlmath] aritmetička a [inlmath]H_n[/inlmath] harmonijska sredina.
Iskreno meni nije najjasnije kako da izrazim [inlmath]y[/inlmath] iz Koši–Švarcove. Kada bismo zamenili [inlmath]y=1[/inlmath] dobili bismo nejednakost oblika [inlmath]n\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\ge\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2[/inlmath]
Mada ja stvarno trenutno nemam ideju. Možda postoji neki drugi oblik ove nejednakosti koja bi odgovarala datom zadatku.

Meni ne treba urađen zadatak sad već samo taj početak odnosno kako da krenem sa dokazom (možda ni nema potrebe za eliminisanjem [inlmath]y[/inlmath] iz nejednakosti).

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 18:58
od desideri
Po meni je ovo više za rubriku "Matematička statistika".
Ako se slažeš, kao i članovi moderatorskog tima, da ja to prebacim?

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:25
od Daniel
Zapravo sam ja Herien Wolfu predložio da ovo stavi u „Ostale oblasti analize“ jer smo tu već imali temu o nejednakosti sredina.
Ali, u principu, može u „Matematičku statistiku“, a možda onda tamo prebaciti i tu drugu temu?

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:29
od Herien Wolf
U međuvremenu sam uradio zadatak, moram priznati da je rešenje trivijalno mada sam ja iz prve imao pogrešan način razmišljanja.
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+\cdots+{y_n}^2\right)\ge\left(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\right) ^2[/dispmath]
Radi boljeg razumevanja izmeniću formulu
[dispmath]\left({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2\right)\left({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2\right)\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\right) ^2[/dispmath]
[dispmath]A_n=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}[/dispmath][dispmath]H_n=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/dispmath]
Nakon ovoga izrazimo da je [inlmath]{a_i}^2=x_i[/inlmath] i [inlmath]{b_i}^2=\frac{1}{x_i}[/inlmath] gde je [inlmath]i=1,2,3,\ldots,n[/inlmath]
Kad ovo uvrstimo u nejednakost dobijamo
[dispmath]\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x_1}}{\sqrt{x_1}}+\frac{\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_2}}+\cdots+\frac{\sqrt{x_n}}{\sqrt{x_n}}\right)^2=n^2[/dispmath]
Odavde imamo
[dispmath]\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots+\frac{1}{x_n}}[/dispmath]

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:43
od Trougao
Mislim da ne moze tako tj. bar ja ne znam nacin da se uz pomoc Kosi-Svarca dokaze direktno nejednakost izmedju harmonijske i aritmeticke sredine. On se koristi koliko ja znam za dokazivanje nejednakosti izmedju kvadratne i aritmeticke sredine.
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left({y_1}^2+{y_2}^2+\cdots+{y_n}^2\right)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_n y_n)^2[/dispmath]
Postavimo da svi [inlmath]y_i=1,\;i\in\{1,2,\ldots,n\}[/inlmath]
[dispmath]\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)n\geq(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2[/dispmath]
Podelimo obe strane sa [inlmath]n^2[/inlmath] i korenujemo obe:
[dispmath]\frac{\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)}{n}\geq\big(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\big)^2\\
\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}[/dispmath]
Dokaz nejednakosti izmedju geometrijske i harmonijske sredine ide iz nejednakosti aritmeticke i geometrijske:
[dispmath]\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdot\cdots\cdot x_n}[/dispmath]
Odaberemo neke [inlmath]y_i>0,\;i\in\{1,2,\ldots,n\}[/inlmath] i postavimo [inlmath]x_i=\frac{1}{y_i},\;i\in\{1,2,\ldots,n\}[/inlmath]
[dispmath]\frac{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\cdots+\frac{1}{y_n}}{n}\geq\frac{1}{\sqrt[n]{y_1y_2\cdot\cdots\cdot y_n}}\\
\sqrt[n]{y_1y_2\cdot\cdots\cdot y_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}+\cdots+\frac{1}{y_n}}[/dispmath]
A geometrijska je manja od aritmeticke (moze indukcijom ili preko Jensenove nejednakosti).

Tek sad videh da je @Herien okacio resenje taman naucih nesta novo :mrgreen:

Re: Primena Koši–Švarcove nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:51
od desideri
Jeste, to je to. Uz rizik da odem u offtopic, moram da kažem da su naši zaslužni forumaši sjajni. A da li će tema biti prebačena negde drugde, nebitno. Bitno je da je na Matemaniji! :)