Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Dokazivanje nejednakosti

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:17

Pozz... prije nekih 3-4 mjeseca poceo sam raditi zadatke u kojima se zahtijeva nesto dokazati itd... e sad sam zapeo na ovom zadatku i nikako ne mogu da ga rijesim. Zadatak je iz zbirke adem huskic za prvi razred gimnazije. Pokusao sam primjeniti AG nejednakost ali ne ide. Ima li iko da je voljan pomoci
[dispmath]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1[/dispmath] imam jos da je [inlmath]a,b,c>0[/inlmath] i da je [inlmath]abc=1[/inlmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 11. Oktobar 2016, 21:39, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dopuna naziva teme, uz zamenu velikih slova malima
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod desideri » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:32

Ispravio sam ti Latex. Trudio si se i zato primedbi nemam.
Kada pišeš Latex formulu, stavi je između dva taga, imaš ih gore, npr sve ovo tvoje sam obeležio (formulu) i kliknuo na tab "InlineMath".
Ostalo si dobro ukucao. :)
Pogledaj obavezno još jednom Latex uputstvo.
Ali od početka. Pa da rešimo ovo. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1518
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod desideri » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:42

@elektricar,
molim i za potvrdu da li je dobro prepravljen zadatak, tj da li u Latexu izgleda kao i kod tebe?
To je neophodno zbog svih nas na forumu. Proveri još jednom da li si ti dobro nakucao a ja dobro prepravio. Tačka 13. pravilnika foruma Matemanija! :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1518
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:49

hvala puno desideri ponovo cu procitati uputstvo, zadatak je tacno napisan
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod desideri » Utorak, 11. Oktobar 2016, 21:13

Dobro, sve jasno.
Ali mi nedostaje formulacija zadatka.
Da li treba dokazati da je gornja nejednakost tačna ili nešto drugo?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1518
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Utorak, 11. Oktobar 2016, 21:27

Neka su [inlmath]a,b,c>0[/inlmath] i [inlmath]abc=1[/inlmath]. Dokazati da vrijedi nejednakost. Vjerovatno treba dokazati da je ova gore nejednakost tacna
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 26. Novembar 2016, 20:25, izmenjena 2 puta
Razlog: Dodavanje Latex-tagova
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Onomatopeja » Utorak, 11. Oktobar 2016, 22:30

Ako bi pokazao da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath], tada bismo imali i [inlmath]\displaystyle\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}[/inlmath] (pri uslovu [inlmath]abc=1[/inlmath]). Odatle je tvrdjenje zadatka trivijalno. Da bi pokazao prvu spomenutu nejednakost iskoristi rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/inlmath], kao i aritmeticko-geometrijsku nejednakost.
 
Postovi: 593
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 561 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Sreda, 12. Oktobar 2016, 11:38

Evo još jednog načina za ovaj drugi deo, bez korišćenja AG-nejednakosti:
[dispmath]\begin{align}
a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4&=a^3(a-b)-b^3(a-b)+a^2b^2\\
&=\left(a^3-b^3\right)(a-b)+a^2b^2\\
&=(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+a^2b^2
\end{align}[/dispmath]
pa pošto izraz [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] ne može biti negativan, sledi da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge a^2b^2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Sreda, 12. Oktobar 2016, 14:41

Onomatopeja hvala na objasnjenju, samo me jos zanima kako je daniel dobio da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] vece od [inlmath]a^2b^2[/inlmath] i da li se moze primjeniti AG nejednakost na [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4][/inlmath] posto se pojavlje je "minus"
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Sreda, 12. Oktobar 2016, 15:21

elektricar je napisao:Onomatopeja hvala na objasnjenju, samo me jos zanima kako je daniel dobio da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] vece od [inlmath]a^2b^2[/inlmath]

Za ono što sam ja radio možeš slobodno pitati mene. :) Dakle, dobio sam da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+a^2b^2[/inlmath], pokazao sam kako. E sad, na desnoj strani imamo dva sabirka, jedan je [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] a drugi je [inlmath]a^2b^2[/inlmath]. Ovaj prvi sabirak je uvek nenegativan (tj. ili pozitivan ili nula), što znači da desna strana jednakosti mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath] (jer predstavlja zbir [inlmath]a^2b^2[/inlmath] i neke nenegativne vrednosti).
A pošto je desna strana veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath], samim tim i leva strana mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath].
Leva strana je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] i ona mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath].
Dakle, [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge a^2b^2[/inlmath].

Zašto je izraz [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] nenegativan – zato što predstavlja proizvod dva nenegativna broja. Faktor [inlmath](a-b)^2[/inlmath] mora biti nenegativan jer predstavlja kvadrat realnog broja. Faktor [inlmath]\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] je takođe nenegativan jer predstavlja količnik [inlmath]\displaystyle\frac{a^3-b^3}{a-b}[/inlmath], gde su brojilac i imenilac uvek istog znaka.



Zapravo, sad vidim da sam već kad sam došao do koraka [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=\left(a^3-b^3\right)(a-b)+a^2b^2[/inlmath] mogao da zaključim da je desna strana (a samim tim i leva) veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath], jer je sabirak [inlmath]\left(a^3-b^3\right)(a-b)[/inlmath] svakako nenegativan (proizvod dve vrednosti istog znaka).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7683
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sledeća

Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 09:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs