Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Dokazivanje nejednakosti

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Sreda, 12. Oktobar 2016, 20:19

hvala puno svima, shvatio sam. Jos me zanima da li smijem primjeniti AG nejednakost na izraz npr. [inlmath]-x^2-x^4[/inlmath] posto se "minus" pojavljuje
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Sreda, 12. Oktobar 2016, 20:39

hvala svima na objasnjenju, jos me zanima kako je Onomatopeja dosao preko AG nejednakosti da je [inlmath](a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath] vece ili jednako od [inlmath]a^2b^2(a+b)[/inlmath]
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Onomatopeja » Sreda, 12. Oktobar 2016, 21:09

Dovoljno je pokazati da je [inlmath]a^3b+ab^3\le a^4+b^4[/inlmath], sto mozemo dobiti kao
[dispmath]a^3b+ab^3\le\frac{a^4+a^2b^2}{2}+\frac{a^2b^2+b^4}{2}=\frac{a^4+b^4}{2}+a^2b^2\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{a^4+b^4}{2}=a^4+b^4,[/dispmath] gde smo tri puta koristili aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

I za tvoj prvi post sa ove strane: da, mozes tu koristiti AG nejednakost, tako sto bi na primer prvo izvukao minus (ako ti tu nesto i koristi AG nejednakost).
 
Postovi: 593
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 561 puta

  • +1

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Herien Wolf » Sreda, 12. Oktobar 2016, 22:25

Dodao bih i ovaj način preko AG nejednakosti.
[dispmath]a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\\
\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}[/dispmath]
Treba da dokažemo [inlmath]a^2b^2\left(a+b\right)\le\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath]
Kako su [inlmath]a,b>0[/inlmath]
Dobijamo [inlmath]a^2b^2\le a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath]
Sada kad ovo uvrstimo u AG nejednakost dobijamo
[dispmath]x_1=a^4\\
x_2=b^4\\
\Rightarrow\;\frac{a^4+b^4}{2}\ge{a^2b^2}[/dispmath]
Ako bismo dokazali da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge\frac{a^4+b^4}{2}[/inlmath] onda bismo istovremeno dokazali početnu nejednakost.
Da bi ovaj korak razumeli, najbolje ga je opisati na sledeći način: Ako imamo [inlmath]x\ge y[/inlmath] , a traži nam se da dokažemo [inlmath]z\ge y[/inlmath], onda bismo mogli ako nam je [inlmath]x[/inlmath] pogodnije od [inlmath]y[/inlmath] , da dokažemo [inlmath]z\ge x[/inlmath] , odakle proizilazi [inlmath]z\ge y[/inlmath]
[dispmath]2a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+2b^4\ge a^4+b^4\\
a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4\ge0\\
a^4+2a^2b^2+b^4\ge2a^3b+2ab^3\\
\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\\
a^2+b^2\ge2ab\\
\Rightarrow\;\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab[/dispmath]
A ovo se takođe zasniva na AG nejednakosti s toga sledi da je i početna nejednakost tačna.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 212 puta

  • +1

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Sreda, 12. Oktobar 2016, 23:06

Super je ceo postupak, :thumbup: samo bih imao jedan mali komentar,
Herien Wolf je napisao:[dispmath]a^2+b^2\ge2ab\\
\Rightarrow\;\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab[/dispmath]

dokazivati ovo preko AG nejednakosti, to je po meni, kako bi to Desideri rekao, kao „topom ubijati komarce“. :)
Imamo [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath], prebacimo [inlmath]2ab[/inlmath] na levu stranu, dobijemo [inlmath]a^2+b^2-2ab\ge0[/inlmath], to jest [inlmath](a-b)^2\ge0[/inlmath], a za kvadrat binoma znamo da mora biti veći ili jednak od nule.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 09:43

A kako se inace dokazuje AG nejednakost za dva sabirka? Upravo tako.

U svakom slucaju ne mislim da je preterivanje, jer se AG vec jednom koristila ranije, te ako smo vec upoznati sa tom jednakoscu, zasto jednostavno ne primetiti i da je ovo sad ponovo jedan slucaj AG nejednakosti? (ovo nije bilo pitanje)

Uostalom, tezina celog zadatka je na uocavanju veze [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath] (tj. da ce nam to biti od neke koristi), a sam dokaz ove nejednakosti u odnosu na samo uocavanje je trivijalan.
 
Postovi: 593
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 561 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 19:09

hvala svima, konacno mogu prekriziti zadatak :)
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 23:02

Onomatopeja je napisao:A kako se inace dokazuje AG nejednakost za dva sabirka? Upravo tako.

Pa, baš zato. Ako smo pri dokazivanju AG-nejednakosti koristili nejednakost [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath], a sada nejednakost [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath] dokazujemo preko AG-nejednakosti, hm... nije li to, kako bi se narodski reklo, „vrćenje ukrug“? :think1:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7681
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 23:24

postoje li ikakvi "koraci" pri dokazivanju ovih nejednacina ili samo logicki mogu gledati sta mi je najlakse za uraditi da bih dokazao nejednakost
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Nedelja, 06. Novembar 2016, 20:59

Da ne otvaram novu temu odlucio sam pitat ovdje ;) Kada dokazujem nejednakost za sve realne brojeve u kojem se pojavljuju tri promjenljive [inlmath]a,b,c[/inlmath]. Da li je dovoljno dokazati da nejednakost vazi za sve pozitivne [inlmath]a,b,c[/inlmath] i da nejednakost vazi za sve negativne [inlmath]a,b,c[/inlmath] Lp
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

PrethodnaSledeća

Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 21. Avgust 2019, 12:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs