Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA OSTALE OBLASTI ANALIZE

Dokazivanje nejednakosti

Sve što spada u matematićku analizu a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Petak, 25. Novembar 2016, 22:22

Moze li mi iko pomoci sa ovim zadatkom, nisam nikako racunski, a ni logicki uspio da ga rijesim. Zadatak glasi Ako za realne brojeve [inlmath]x,y,z[/inlmath] vrijedi [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath] dokazati da vrijedi nejednakost
[dispmath]x+y+z\le xyz+2[/dispmath]
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Onomatopeja » Petak, 25. Novembar 2016, 23:41

Primenom Koši-Švarcove nejednakosti i uslova [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z)\cdot1\le\sqrt{(x^2+{(y+z)}^2)({(1-yz)}^2+1^2)}=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^2z^2)}.[/dispmath] Odatle primetimo da je dovoljno pokazati nejednakost [inlmath]\sqrt{(1+yz)(2-2yz+y^2z^2)}\le\sqrt2[/inlmath] kako bismo pokazali trazenu nejednakost iz zadatka, a prethodna nejednakost je ekvivalentna sa [inlmath](1+yz)(2-2yz+y^2z^2)\le2[/inlmath], odnosno [inlmath]y^2z^2(1-yz)\ge0[/inlmath], sto je ispunjeno jer vazi [inlmath]yz\le1[/inlmath]. Naime, kako je [inlmath]x^2\ge0[/inlmath], to je [inlmath]y^2+z^2\le2[/inlmath], a samim tim iz AG nejednakosti dobijamo i [inlmath]yz\le1[/inlmath].

Odakle je inace ovaj zadatak?
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod elektricar » Subota, 26. Novembar 2016, 18:07

hvala puno na lijepom objasnjenju, zadatak je iz zbirke za prvi razred gimnazije Adem Huskic, na kojem bi se nivou trebao nalaziti ovaj zadatak po vama (mislim na takmicarske nivoe)
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod desideri » Nedelja, 27. Novembar 2016, 17:31

Ovo može da se reši ako se zna i jednačina sfere u analitičkoj geometriji:
[dispmath]x^2+y^2+z^2=r^2[/dispmath]
No to verovatno ne radite u gimnaziji, ja ovo pišem zbog ostalih korisnika.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

  • +1

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Daniel » Utorak, 29. Novembar 2016, 21:05

Ta formula je i mene odmah asocirala na jednačinu sfere, ali osim zaključka da [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath]\Bigl[-\sqrt2,\sqrt2\Bigr][/inlmath], nisam uspeo da uočim ništa što bi pomoglo da se jednačina sfere iskoristi.
Bi li izložio neku osnovnu ideju za taj način dokazivanja?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7739
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4064 puta
Pohvaljen: 4124 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti

Postod Onomatopeja » Sreda, 30. Novembar 2016, 18:00

Moguce da je desideri mislio da se taj uslov zapise preko sfernih koordinata, pa da se onda nejednacina svede na nejednacinu sa dve promenljive (u zavisnosti od dva ugla). Mozda to i dovodi do lakseg/brzeg resenja, nisam pokusavao (ako uopste dobijamo nesto tom parametrizacijom). A mozda i nisi mislio na to desideri?

@elektricar: Ne bih znao, nisam nikada isao na takmicenja iz matematike. Verovatno moze proci za republicko, mozda i za vise.
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

Prethodna

Povratak na OSTALE OBLASTI ANALIZE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 24. Oktobar 2019, 01:56 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs