Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:17
od elektricar
Pozz... prije nekih 3-4 mjeseca poceo sam raditi zadatke u kojima se zahtijeva nesto dokazati itd... e sad sam zapeo na ovom zadatku i nikako ne mogu da ga rijesim. Zadatak je iz zbirke adem huskic za prvi razred gimnazije. Pokusao sam primjeniti AG nejednakost ali ne ide. Ima li iko da je voljan pomoci
[dispmath]\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1[/dispmath] imam jos da je [inlmath]a,b,c>0[/inlmath] i da je [inlmath]abc=1[/inlmath]

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:32
od desideri
Ispravio sam ti Latex. Trudio si se i zato primedbi nemam.
Kada pišeš Latex formulu, stavi je između dva taga, imaš ih gore, npr sve ovo tvoje sam obeležio (formulu) i kliknuo na tab "InlineMath".
Ostalo si dobro ukucao. :)
Pogledaj obavezno još jednom Latex uputstvo.
Ali od početka. Pa da rešimo ovo. :)

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:42
od desideri
@elektricar,
molim i za potvrdu da li je dobro prepravljen zadatak, tj da li u Latexu izgleda kao i kod tebe?
To je neophodno zbog svih nas na forumu. Proveri još jednom da li si ti dobro nakucao a ja dobro prepravio. Tačka 13. pravilnika foruma Matemanija! :)

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 19:49
od elektricar
hvala puno desideri ponovo cu procitati uputstvo, zadatak je tacno napisan

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:13
od desideri
Dobro, sve jasno.
Ali mi nedostaje formulacija zadatka.
Da li treba dokazati da je gornja nejednakost tačna ili nešto drugo?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 20:27
od elektricar
Neka su [inlmath]a,b,c>0[/inlmath] i [inlmath]abc=1[/inlmath]. Dokazati da vrijedi nejednakost. Vjerovatno treba dokazati da je ova gore nejednakost tacna

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 11. Oktobar 2016, 21:30
od Onomatopeja
Ako bi pokazao da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath], tada bismo imali i [inlmath]\displaystyle\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}[/inlmath] (pri uslovu [inlmath]abc=1[/inlmath]). Odatle je tvrdjenje zadatka trivijalno. Da bi pokazao prvu spomenutu nejednakost iskoristi rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/inlmath], kao i aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 10:38
od Daniel
Evo još jednog načina za ovaj drugi deo, bez korišćenja AG-nejednakosti:
[dispmath]\begin{align}
a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4&=a^3(a-b)-b^3(a-b)+a^2b^2\\
&=\left(a^3-b^3\right)(a-b)+a^2b^2\\
&=(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+a^2b^2
\end{align}[/dispmath]
pa pošto izraz [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] ne može biti negativan, sledi da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge a^2b^2[/inlmath].

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 13:41
od elektricar
Onomatopeja hvala na objasnjenju, samo me jos zanima kako je daniel dobio da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] vece od [inlmath]a^2b^2[/inlmath] i da li se moze primjeniti AG nejednakost na [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4][/inlmath] posto se pojavlje je "minus"

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 14:21
od Daniel
elektricar je napisao:Onomatopeja hvala na objasnjenju, samo me jos zanima kako je daniel dobio da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] vece od [inlmath]a^2b^2[/inlmath]

Za ono što sam ja radio možeš slobodno pitati mene. :) Dakle, dobio sam da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=(a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+a^2b^2[/inlmath], pokazao sam kako. E sad, na desnoj strani imamo dva sabirka, jedan je [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] a drugi je [inlmath]a^2b^2[/inlmath]. Ovaj prvi sabirak je uvek nenegativan (tj. ili pozitivan ili nula), što znači da desna strana jednakosti mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath] (jer predstavlja zbir [inlmath]a^2b^2[/inlmath] i neke nenegativne vrednosti).
A pošto je desna strana veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath], samim tim i leva strana mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath].
Leva strana je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath] i ona mora biti veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath].
Dakle, [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge a^2b^2[/inlmath].

Zašto je izraz [inlmath](a-b)^2\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] nenegativan – zato što predstavlja proizvod dva nenegativna broja. Faktor [inlmath](a-b)^2[/inlmath] mora biti nenegativan jer predstavlja kvadrat realnog broja. Faktor [inlmath]\left(a^2+ab+b^2\right)[/inlmath] je takođe nenegativan jer predstavlja količnik [inlmath]\displaystyle\frac{a^3-b^3}{a-b}[/inlmath], gde su brojilac i imenilac uvek istog znaka.



Zapravo, sad vidim da sam već kad sam došao do koraka [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4=\left(a^3-b^3\right)(a-b)+a^2b^2[/inlmath] mogao da zaključim da je desna strana (a samim tim i leva) veća ili jednaka od [inlmath]a^2b^2[/inlmath], jer je sabirak [inlmath]\left(a^3-b^3\right)(a-b)[/inlmath] svakako nenegativan (proizvod dve vrednosti istog znaka).

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 19:19
od elektricar
hvala puno svima, shvatio sam. Jos me zanima da li smijem primjeniti AG nejednakost na izraz npr. [inlmath]-x^2-x^4[/inlmath] posto se "minus" pojavljuje

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 19:39
od elektricar
hvala svima na objasnjenju, jos me zanima kako je Onomatopeja dosao preko AG nejednakosti da je [inlmath](a+b)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath] vece ili jednako od [inlmath]a^2b^2(a+b)[/inlmath]

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 20:09
od Onomatopeja
Dovoljno je pokazati da je [inlmath]a^3b+ab^3\le a^4+b^4[/inlmath], sto mozemo dobiti kao
[dispmath]a^3b+ab^3\le\frac{a^4+a^2b^2}{2}+\frac{a^2b^2+b^4}{2}=\frac{a^4+b^4}{2}+a^2b^2\le\frac{a^4+b^4}{2}+\frac{a^4+b^4}{2}=a^4+b^4,[/dispmath] gde smo tri puta koristili aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

I za tvoj prvi post sa ove strane: da, mozes tu koristiti AG nejednakost, tako sto bi na primer prvo izvukao minus (ako ti tu nesto i koristi AG nejednakost).

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 21:25
od Herien Wolf
Dodao bih i ovaj način preko AG nejednakosti.
[dispmath]a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\\
\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}[/dispmath]
Treba da dokažemo [inlmath]a^2b^2\left(a+b\right)\le\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)[/inlmath]
Kako su [inlmath]a,b>0[/inlmath]
Dobijamo [inlmath]a^2b^2\le a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4[/inlmath]
Sada kad ovo uvrstimo u AG nejednakost dobijamo
[dispmath]x_1=a^4\\
x_2=b^4\\
\Rightarrow\;\frac{a^4+b^4}{2}\ge{a^2b^2}[/dispmath]
Ako bismo dokazali da je [inlmath]a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\ge\frac{a^4+b^4}{2}[/inlmath] onda bismo istovremeno dokazali početnu nejednakost.
Da bi ovaj korak razumeli, najbolje ga je opisati na sledeći način: Ako imamo [inlmath]x\ge y[/inlmath] , a traži nam se da dokažemo [inlmath]z\ge y[/inlmath], onda bismo mogli ako nam je [inlmath]x[/inlmath] pogodnije od [inlmath]y[/inlmath] , da dokažemo [inlmath]z\ge x[/inlmath] , odakle proizilazi [inlmath]z\ge y[/inlmath]
[dispmath]2a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+2b^4\ge a^4+b^4\\
a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4\ge0\\
a^4+2a^2b^2+b^4\ge2a^3b+2ab^3\\
\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\\
a^2+b^2\ge2ab\\
\Rightarrow\;\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab[/dispmath]
A ovo se takođe zasniva na AG nejednakosti s toga sledi da je i početna nejednakost tačna.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 12. Oktobar 2016, 22:06
od Daniel
Super je ceo postupak, :thumbup: samo bih imao jedan mali komentar,
Herien Wolf je napisao:[dispmath]a^2+b^2\ge2ab\\
\Rightarrow\;\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab[/dispmath]

dokazivati ovo preko AG nejednakosti, to je po meni, kako bi to Desideri rekao, kao „topom ubijati komarce“. :)
Imamo [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath], prebacimo [inlmath]2ab[/inlmath] na levu stranu, dobijemo [inlmath]a^2+b^2-2ab\ge0[/inlmath], to jest [inlmath](a-b)^2\ge0[/inlmath], a za kvadrat binoma znamo da mora biti veći ili jednak od nule.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 08:43
od Onomatopeja
A kako se inace dokazuje AG nejednakost za dva sabirka? Upravo tako.

U svakom slucaju ne mislim da je preterivanje, jer se AG vec jednom koristila ranije, te ako smo vec upoznati sa tom jednakoscu, zasto jednostavno ne primetiti i da je ovo sad ponovo jedan slucaj AG nejednakosti? (ovo nije bilo pitanje)

Uostalom, tezina celog zadatka je na uocavanju veze [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath] (tj. da ce nam to biti od neke koristi), a sam dokaz ove nejednakosti u odnosu na samo uocavanje je trivijalan.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 18:09
od elektricar
hvala svima, konacno mogu prekriziti zadatak :)

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 22:02
od Daniel
Onomatopeja je napisao:A kako se inace dokazuje AG nejednakost za dva sabirka? Upravo tako.

Pa, baš zato. Ako smo pri dokazivanju AG-nejednakosti koristili nejednakost [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath], a sada nejednakost [inlmath]a^2+b^2\ge2ab[/inlmath] dokazujemo preko AG-nejednakosti, hm... nije li to, kako bi se narodski reklo, „vrćenje ukrug“? :think1:

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 13. Oktobar 2016, 22:24
od elektricar
postoje li ikakvi "koraci" pri dokazivanju ovih nejednacina ili samo logicki mogu gledati sta mi je najlakse za uraditi da bih dokazao nejednakost

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Nedelja, 06. Novembar 2016, 19:59
od elektricar
Da ne otvaram novu temu odlucio sam pitat ovdje ;) Kada dokazujem nejednakost za sve realne brojeve u kojem se pojavljuju tri promjenljive [inlmath]a,b,c[/inlmath]. Da li je dovoljno dokazati da nejednakost vazi za sve pozitivne [inlmath]a,b,c[/inlmath] i da nejednakost vazi za sve negativne [inlmath]a,b,c[/inlmath] Lp

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Petak, 25. Novembar 2016, 21:22
od elektricar
Moze li mi iko pomoci sa ovim zadatkom, nisam nikako racunski, a ni logicki uspio da ga rijesim. Zadatak glasi Ako za realne brojeve [inlmath]x,y,z[/inlmath] vrijedi [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath] dokazati da vrijedi nejednakost
[dispmath]x+y+z\le xyz+2[/dispmath]

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Petak, 25. Novembar 2016, 22:41
od Onomatopeja
Primenom Koši-Švarcove nejednakosti i uslova [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z)\cdot1\le\sqrt{(x^2+{(y+z)}^2)({(1-yz)}^2+1^2)}=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^2z^2)}.[/dispmath] Odatle primetimo da je dovoljno pokazati nejednakost [inlmath]\sqrt{(1+yz)(2-2yz+y^2z^2)}\le\sqrt2[/inlmath] kako bismo pokazali trazenu nejednakost iz zadatka, a prethodna nejednakost je ekvivalentna sa [inlmath](1+yz)(2-2yz+y^2z^2)\le2[/inlmath], odnosno [inlmath]y^2z^2(1-yz)\ge0[/inlmath], sto je ispunjeno jer vazi [inlmath]yz\le1[/inlmath]. Naime, kako je [inlmath]x^2\ge0[/inlmath], to je [inlmath]y^2+z^2\le2[/inlmath], a samim tim iz AG nejednakosti dobijamo i [inlmath]yz\le1[/inlmath].

Odakle je inace ovaj zadatak?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Subota, 26. Novembar 2016, 17:07
od elektricar
hvala puno na lijepom objasnjenju, zadatak je iz zbirke za prvi razred gimnazije Adem Huskic, na kojem bi se nivou trebao nalaziti ovaj zadatak po vama (mislim na takmicarske nivoe)

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Nedelja, 27. Novembar 2016, 16:31
od desideri
Ovo može da se reši ako se zna i jednačina sfere u analitičkoj geometriji:
[dispmath]x^2+y^2+z^2=r^2[/dispmath]
No to verovatno ne radite u gimnaziji, ja ovo pišem zbog ostalih korisnika.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 29. Novembar 2016, 20:05
od Daniel
Ta formula je i mene odmah asocirala na jednačinu sfere, ali osim zaključka da [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath]\Bigl[-\sqrt2,\sqrt2\Bigr][/inlmath], nisam uspeo da uočim ništa što bi pomoglo da se jednačina sfere iskoristi.
Bi li izložio neku osnovnu ideju za taj način dokazivanja?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 30. Novembar 2016, 17:00
od Onomatopeja
Moguce da je desideri mislio da se taj uslov zapise preko sfernih koordinata, pa da se onda nejednacina svede na nejednacinu sa dve promenljive (u zavisnosti od dva ugla). Mozda to i dovodi do lakseg/brzeg resenja, nisam pokusavao (ako uopste dobijamo nesto tom parametrizacijom). A mozda i nisi mislio na to desideri?

@elektricar: Ne bih znao, nisam nikada isao na takmicenja iz matematike. Verovatno moze proci za republicko, mozda i za vise.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 01. Februar 2024, 19:29
od Nikolija Obradović
Onomatopeja je napisao:Ako bi pokazao da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath], tada bismo imali i [inlmath]\displaystyle\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}[/inlmath] (pri uslovu [inlmath]abc=1[/inlmath]). Odatle je tvrdjenje zadatka trivijalno. Da bi pokazao prvu spomenutu nejednakost iskoristi rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/inlmath], kao i aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

Može li mi neko objasniti zašto baš moram pokazati da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)\cdot a^2\cdot b^2[/inlmath]?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 22. Februar 2024, 21:17
od Daniel
Odgovor na tvoje pitanje nalazi se upravo u delu koji si citirala.