Stranica 3 od 3

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Petak, 25. Novembar 2016, 21:22
od elektricar
Moze li mi iko pomoci sa ovim zadatkom, nisam nikako racunski, a ni logicki uspio da ga rijesim. Zadatak glasi Ako za realne brojeve [inlmath]x,y,z[/inlmath] vrijedi [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath] dokazati da vrijedi nejednakost
[dispmath]x+y+z\le xyz+2[/dispmath]

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Petak, 25. Novembar 2016, 22:41
od Onomatopeja
Primenom Koši-Švarcove nejednakosti i uslova [inlmath]x^2+y^2+z^2=2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]x+y+z-xyz=x(1-yz)+(y+z)\cdot1\le\sqrt{(x^2+{(y+z)}^2)({(1-yz)}^2+1^2)}=\sqrt{(2+2yz)(2-2yz+y^2z^2)}.[/dispmath] Odatle primetimo da je dovoljno pokazati nejednakost [inlmath]\sqrt{(1+yz)(2-2yz+y^2z^2)}\le\sqrt2[/inlmath] kako bismo pokazali trazenu nejednakost iz zadatka, a prethodna nejednakost je ekvivalentna sa [inlmath](1+yz)(2-2yz+y^2z^2)\le2[/inlmath], odnosno [inlmath]y^2z^2(1-yz)\ge0[/inlmath], sto je ispunjeno jer vazi [inlmath]yz\le1[/inlmath]. Naime, kako je [inlmath]x^2\ge0[/inlmath], to je [inlmath]y^2+z^2\le2[/inlmath], a samim tim iz AG nejednakosti dobijamo i [inlmath]yz\le1[/inlmath].

Odakle je inace ovaj zadatak?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Subota, 26. Novembar 2016, 17:07
od elektricar
hvala puno na lijepom objasnjenju, zadatak je iz zbirke za prvi razred gimnazije Adem Huskic, na kojem bi se nivou trebao nalaziti ovaj zadatak po vama (mislim na takmicarske nivoe)

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Nedelja, 27. Novembar 2016, 16:31
od desideri
Ovo može da se reši ako se zna i jednačina sfere u analitičkoj geometriji:
[dispmath]x^2+y^2+z^2=r^2[/dispmath]
No to verovatno ne radite u gimnaziji, ja ovo pišem zbog ostalih korisnika.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Utorak, 29. Novembar 2016, 20:05
od Daniel
Ta formula je i mene odmah asocirala na jednačinu sfere, ali osim zaključka da [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] pripadaju intervalu [inlmath]\Bigl[-\sqrt2,\sqrt2\Bigr][/inlmath], nisam uspeo da uočim ništa što bi pomoglo da se jednačina sfere iskoristi.
Bi li izložio neku osnovnu ideju za taj način dokazivanja?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Sreda, 30. Novembar 2016, 17:00
od Onomatopeja
Moguce da je desideri mislio da se taj uslov zapise preko sfernih koordinata, pa da se onda nejednacina svede na nejednacinu sa dve promenljive (u zavisnosti od dva ugla). Mozda to i dovodi do lakseg/brzeg resenja, nisam pokusavao (ako uopste dobijamo nesto tom parametrizacijom). A mozda i nisi mislio na to desideri?

@elektricar: Ne bih znao, nisam nikada isao na takmicenja iz matematike. Verovatno moze proci za republicko, mozda i za vise.

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 01. Februar 2024, 19:29
od Nikolija Obradović
Onomatopeja je napisao:Ako bi pokazao da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)a^2b^2[/inlmath], tada bismo imali i [inlmath]\displaystyle\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}[/inlmath] (pri uslovu [inlmath]abc=1[/inlmath]). Odatle je tvrdjenje zadatka trivijalno. Da bi pokazao prvu spomenutu nejednakost iskoristi rastavljanje [inlmath]a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)[/inlmath], kao i aritmeticko-geometrijsku nejednakost.

Može li mi neko objasniti zašto baš moram pokazati da je [inlmath]a^5+b^5\ge(a+b)\cdot a^2\cdot b^2[/inlmath]?

Re: Dokazivanje nejednakosti

PostPoslato: Četvrtak, 22. Februar 2024, 21:17
od Daniel
Odgovor na tvoje pitanje nalazi se upravo u delu koji si citirala.