Dokazati nejednakost

PostPoslato: Subota, 17. Jun 2017, 20:05
od Nađa
Sta tacno treba da se uradi u ovom zadatku?
Dokazati nejednakost
[dispmath]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c},\quad a,b,c\in\mathbb{R},\quad a,b,c>0[/dispmath]

Re: Dokazati nejednakost

PostPoslato: Subota, 17. Jun 2017, 20:10
od Daniel
Da se iskoristi nejednakost između harmonijske i aritmetičke sredine.

Re: Dokazati nejednakost

PostPoslato: Subota, 17. Jun 2017, 20:20
od Nađa
Hmmm ovako?
[dispmath]\frac{a+b+c}{3}\ge\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}[/dispmath] i to vazi samo ako je [inlmath]a=b=c[/inlmath] ?
Bilo mi je cudno jer prvi put sam naletela na zadatak sa harmonijskom sredinom :D

Re: Dokazati nejednakost

PostPoslato: Subota, 17. Jun 2017, 20:31
od Daniel
Nađa je napisao:Hmmm ovako?
[dispmath]\frac{a+b+c}{3}\ge\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}[/dispmath]

Jeste, upravo to.

Nađa je napisao:i to vazi samo ako je [inlmath]a=b=c[/inlmath] ?

Jednakost važi samo za [inlmath]a=b=c[/inlmath]. Ako nije ispunjeno [inlmath]a=b=c[/inlmath], tada važi stroga nejednakost.

U opštem slučaju, s [inlmath]n[/inlmath] članova niza,
[dispmath]\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\le\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}[/dispmath] Znak [inlmath]\le[/inlmath] znači, naravno, da harmonijska sredina može biti manja od aritmetičke ili jednaka aritmetičkoj. Međutim, biće jednaka aritmetičkoj ako i samo ako je [inlmath]a_1=a_2=\cdots=a_n[/inlmath]. U svim ostalim slučajevima važiće stroga nejednakost.
Uzgred, geometrijska sredina se po poretku nalazi između harmonijske i aritmetičke, to jest
[dispmath]\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\le\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}[/dispmath] (naravno, i ovde jednakost važi samo za slučaj [inlmath]a_1=a_2=\cdots=a_n[/inlmath]).

Re: Dokazati nejednakost

PostPoslato: Subota, 17. Jun 2017, 20:49
od Nađa
Hvala :aureola: