od Onomatopeja » Utorak, 05. Decembar 2017, 22:48
Obelezimo sa [inlmath]f(m,n)[/inlmath] izraz sa kojim radimo. Da bi pokazala da je [inlmath]1[/inlmath] supremum ovog skupa, potrebno i dovoljno je da se pokaze (neko navodi ovo kao definiciju supremuma, a neko kao stav (lemu) o karakterizaciji supremuma):
za svako [inlmath]m,n\in\mathbb{N}[/inlmath] vazi [inlmath]f(m,n)\le1[/inlmath]
za svako [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] postoje neki [inlmath]a,b\in\mathbb{N}[/inlmath] takvi da je [inlmath]1-\varepsilon<f(a,b)[/inlmath] (tj. ako malo pomerimo u levo, da onda u nekoj tacki funkcija prebacuje tu novu granicu)
Prvo je jasno zbog odnosa brojioca i imenioca, a drugo sledi iz toga sto je [inlmath]\lim_{m\to\infty}f(m,n)=1[/inlmath] (kao sto je Daniel i rekao). Za ovo drugo raspisi po definiciji sta znaci da je ovaj limes jedan (ako ti znaci, obelezi [inlmath]f(m,n)=a_m[/inlmath], jer tu smatramo da je [inlmath]n[/inlmath] fiksirano, a koristimo definiciju limesa niza).