Implicitna funkcija data sistemom jednacina
Poslato: Subota, 24. Februar 2018, 13:03
Ovako imam jedan zadatak koji kaze
Napisati teoremu o implicitnoj funkciji definisane sistemom jednacina i na osnovu toga odrediti jednacinu oskulaturne (valjda sam lepo napisao) ravni krive
[inlmath]\begin{cases} x^2+y^2+z^2-9=0\\ x^2-y^2-3=0 \end{cases}\quad[/inlmath] za [inlmath]M(2,1,2)[/inlmath]
Teorema:
Neka su funkcije [inlmath]F_1(\mathbf{x,y}),\ldots,F_m(\mathbf{x,y})[/inlmath] diferencijabilne u okolini tacke [inlmath](\mathbf{a,b})=(a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_m)[/inlmath] u kojoj su neprekidni parcijalni izvodi
[inlmath]\frac{\partial F_j}{\partial y_k}(x,y),\;(j,k=1,\ldots,m,)[/inlmath], pri cemu je
[inlmath]\begin{vmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_1}{\partial y_2}(a,b) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(a,b)\\
\frac{\partial F_2}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_2}{\partial y_2}(a,b) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(a,b)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_m}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_m}{\partial y_2}(a,b) & \cdots &\frac{\partial F_m}{\partial y_m}(a,b)
\end{vmatrix}\neq0[/inlmath]
i [inlmath]F_1(\mathbf{x,y}),\ldots,F_m(\mathbf{x,y})=0[/inlmath]. Tada postoji okolina tacke [inlmath](a,b)[/inlmath] u kojoj sistem [inlmath]F_k(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)=0,\;(k=1,\ldots,m)[/inlmath] definise jedinstvenu implicitnu funkciju
[inlmath]\mathbf{y}=\bigl(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})\bigr),[/inlmath] takvu da je [inlmath]\mathbf{b}=\bigl(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})\bigr).[/inlmath] Pritom su [inlmath]f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})[/inlmath] diferencijabilne funkcije, a u okolini tacke [inlmath]a[/inlmath] parcijalni izvodi [inlmath]\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\;(j=1,\ldots,m;\;k=1,\ldots,n)[/inlmath]
predstavljaju jedinstveno resenje sistema algebarskih jednacina
[inlmath]\sum\limits_{k=1}^m\frac{\partial F_j}{\partial y_k}(\mathbf{x,y})\frac{\partial f_k}{\partial x_i}(\mathbf{x})=-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}(\mathbf{x,y});\;(j=1,\ldots,m;\;i=1,\ldots,n)[/inlmath]
ako neko moze malo da mi pojasni ovu teoremu i kako je primeniti na dati zadatak? hvala unapred
Napisati teoremu o implicitnoj funkciji definisane sistemom jednacina i na osnovu toga odrediti jednacinu oskulaturne (valjda sam lepo napisao) ravni krive
[inlmath]\begin{cases} x^2+y^2+z^2-9=0\\ x^2-y^2-3=0 \end{cases}\quad[/inlmath] za [inlmath]M(2,1,2)[/inlmath]
Teorema:
Neka su funkcije [inlmath]F_1(\mathbf{x,y}),\ldots,F_m(\mathbf{x,y})[/inlmath] diferencijabilne u okolini tacke [inlmath](\mathbf{a,b})=(a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_m)[/inlmath] u kojoj su neprekidni parcijalni izvodi
[inlmath]\frac{\partial F_j}{\partial y_k}(x,y),\;(j,k=1,\ldots,m,)[/inlmath], pri cemu je
[inlmath]\begin{vmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_1}{\partial y_2}(a,b) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(a,b)\\
\frac{\partial F_2}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_2}{\partial y_2}(a,b) & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m}(a,b)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial F_m}{\partial y_1}(a,b) & \frac{\partial F_m}{\partial y_2}(a,b) & \cdots &\frac{\partial F_m}{\partial y_m}(a,b)
\end{vmatrix}\neq0[/inlmath]
i [inlmath]F_1(\mathbf{x,y}),\ldots,F_m(\mathbf{x,y})=0[/inlmath]. Tada postoji okolina tacke [inlmath](a,b)[/inlmath] u kojoj sistem [inlmath]F_k(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)=0,\;(k=1,\ldots,m)[/inlmath] definise jedinstvenu implicitnu funkciju
[inlmath]\mathbf{y}=\bigl(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})\bigr),[/inlmath] takvu da je [inlmath]\mathbf{b}=\bigl(f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})\bigr).[/inlmath] Pritom su [inlmath]f_1(\mathbf{x}),\ldots,f_m(\mathbf{x})[/inlmath] diferencijabilne funkcije, a u okolini tacke [inlmath]a[/inlmath] parcijalni izvodi [inlmath]\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\;(j=1,\ldots,m;\;k=1,\ldots,n)[/inlmath]
predstavljaju jedinstveno resenje sistema algebarskih jednacina
[inlmath]\sum\limits_{k=1}^m\frac{\partial F_j}{\partial y_k}(\mathbf{x,y})\frac{\partial f_k}{\partial x_i}(\mathbf{x})=-\frac{\partial F_j}{\partial x_i}(\mathbf{x,y});\;(j=1,\ldots,m;\;i=1,\ldots,n)[/inlmath]
ako neko moze malo da mi pojasni ovu teoremu i kako je primeniti na dati zadatak? hvala unapred