Pretpostavke koje si naveo u teoremi nisu dovoljne za garantovanje parcijalnih izvoda funkcije [inlmath]f[/inlmath]. Potrebno je još i pretpostaviti da je parcijalni diferencijal [inlmath]\mathrm d_{\mathbf x}F[/inlmath] definisan i da su svi njegovi elementi neprekidni. Sa ovom pretpostavkom važiće [inlmath]\mathrm d_{\mathbf y}F(\mathbf x,\mathbf y)\;\mathrm df(\mathbf x)=-\mathrm d_{\mathbf x}F(\mathbf x,\mathbf y)[/inlmath] (to je upravo ovo što si ti naveo na samom kraju).
Takođe, ako [inlmath]F=(F_1,\dots,F_n)\in C^p[/inlmath] tada i [inlmath]f=(f_1,\dots,f_n)\in C^p[/inlmath]. (Naravno, domeni ovih funkcija su različiti, pa su i odgovarajuće klase različite, ali neću sad da uvodim nove oznake.)
Možda bi najbolje pojašnjenje ove teoreme bila baš primena na ovaj zadatak, a preporučujem ti da i sam u literaturi potražiš motivaciju za ovu teoremu. Takođe, pogledaj i jednostavniji oblik ove teoreme, koji se odnosi na implicitne funkcije sa realnim vrednostima (u tom slučaju nećemo imati više sisteme funkcija već jednu funkciju).
Neka je [inlmath]F_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9[/inlmath] i [inlmath]F_2(x,y,z)=x^2-y^2-3[/inlmath]. Tada je skup [inlmath]A_1=\{v\in\mathbb{R}^3\mid F_1(v)=0\}[/inlmath] sfera a skup [inlmath]A_2=\{v\in\mathbb{R}^3\mid F_2(v)=0\}[/inlmath] hiperbolički cilindar. Presek ova dva skupa su dve "iskrivljene elipse" (skiciraj ovo ako ti nije jasno). Prilikom refleksije u odnosu na ravan [inlmath]x=0[/inlmath] ove dve "elipse" se slikaju jedna na drugu. Takođe, svaka od "elipsa" se slika na samu sebe prilikom refleksija u odnosu na ravni [inlmath]y=0[/inlmath] i [inlmath]z=0[/inlmath]. Zbog toga ne možemo na jedinstven način odrediti neku funkciju koja bi definisala ove dve "elipse".
Tačka [inlmath]M(2,1,2)[/inlmath] pripada jednoj od ove dve "elipse", tj [inlmath]F_1(M)=0[/inlmath] i [inlmath]F_2(M)=0[/inlmath]. Ova teorema nam garantuje da, ako su zadovoljeni i ostali uslovi, u nekoj okolini [inlmath]U\times V\times W[/inlmath] tačke [inlmath]M[/inlmath] postoji funkcija [inlmath]f\colon U\to V\times W[/inlmath] takva da je [inlmath]f(2)=(1,2)[/inlmath] i važi [inlmath]F_1(x,f(x))=0[/inlmath] i [inlmath]F_2(x,f(x))=0[/inlmath] za [inlmath]x\in U[/inlmath]. Pritom su [inlmath]U,V[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] neki intervali u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] koji odgovaraju koordinatama [inlmath]x,y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath].
Mala napomena, kako imamo dva uslova (funkcije [inlmath]F_1[/inlmath] i [inlmath]F_2[/inlmath]), po teoremi, moramo definisati funkciju [inlmath]f[/inlmath] iz [inlmath]U[/inlmath] na [inlmath]V\times W[/inlmath], a ne iz [inlmath]U\times V[/inlmath] na [inlmath]W[/inlmath]. Intuitivno objašnjenje ovoga bi išlo ovako nekako: ovde radimo sa nekom "krivom" koja ima samo jedan stepen slobode kretanja (grubo rečeno na njoj možeš ići samo napred-nazad). Ako bismo hteli da [inlmath]f[/inlmath] slika iz [inlmath]U\times V[/inlmath] u [inlmath]W[/inlmath] tada bismo imali dva stepena slobode, pa bismo dobili neku površ...
Tebi ostavljam da da proveriš da parcijalni diferencijal
[dispmath]\mathrm d_{\mathbf y}F(x,y,z)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial F_1}{\partial z}(x,y,z)\\
\frac{\partial F_2}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial F_2}{\partial z}(x,y,z)\\
\end{bmatrix}[/dispmath] ima determinantu različitu od nule u tački [inlmath]M[/inlmath], kao i da je parcijalni diferencijal
[dispmath]\mathrm d_{\mathbf x}F(x,y,z)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial F_1}{\partial x}(x,y,z)\\
\frac{\partial F_2}{\partial x}(x,y,z)
\end{bmatrix}[/dispmath] definisan sa neprekidnim elementima.
Kada sve to sračunaš lako ćeš naći i [inlmath]f_1'=\partial f_1/\partial x\:(x)[/inlmath] i [inlmath]f_2'=\partial f_2/\partial x\:(x)[/inlmath] rešavajući sistem zadat sa [inlmath]\mathrm d_{\mathbf y}F(\mathbf x,\mathbf y)\;\mathrm df(\mathbf x)=-\mathrm d_{\mathbf x}F(\mathbf x,\mathbf y)[/inlmath]. Kao što vidiš u pitanju su obični izvodi funkcije jedne promenljive.
Sada znamo da u okolini tačke [inlmath]M[/inlmath] zaista imamo krivu koja je definisana funkcijom [inlmath]\alpha\colon x\mapsto(x,f_1(x),f_2(x))[/inlmath]. Mi na osnovu teoreme ne znamo koje su to tačno funkcije, ali nam to za ovaj zadatak nije ni bitno. Dovoljno je znati da je [inlmath]\vec\tau=\alpha'(x)/\|\alpha'(x)\|=(1,f_1'(x),f_2'(x))/\|\alpha'(x)\|[/inlmath] i [inlmath]\vec\nu=\alpha''(x)/\|\alpha''(x)\|=(0,f_1''(x),f_2''(x))/\|\alpha''(x)\|[/inlmath] u okolini tačke [inlmath]M[/inlmath].
Vektor [inlmath]\vec\beta=\vec\tau\times\vec\nu[/inlmath] je normalan na oskulatornu ravan. To ti je sasvim dovoljno da odrediš oskulatornu ravan.
A ovako izgleda ovaj presek. Na slici je obeležen i tangentni vektor iz tačke [inlmath]M[/inlmath].
- Presek sfere i hiperboličkog cilindra
- sfera.gif (10.7 KiB) Pogledano 1060 puta