Stranica 1 od 1

"Teorijski zadatak" – diferencijabilna funkcija

PostPoslato: Sreda, 29. Avgust 2018, 16:18
od Igor
Zadatak: Neka je [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] diferencijabilna funkcija za koju važi [inlmath](\forall x\in\mathbb{R})\;f'(x)\ne1[/inlmath]. Dokazati da postoji maksimalno jedna tačka [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath], takva da je [inlmath]f(a)=a[/inlmath].

Na koji način se radi ovaj zadatak? Da je data funkcija na segmentu, onda pretpostavljam da bi se, u sličnim zadacima, koristile Osnovne teoreme diferencijalnog računa (Rolova, Lagranžova, ...), ali ovde to nije slučaj.

Re: "Teorijski zadatak" – diferencijabilna funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 30. Avgust 2018, 01:31
od Corba248
Ja bih radio ovako (verujem da će me neko ispraviti ako grešim).
Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje [inlmath]2[/inlmath] tačke [inlmath]a,b\in\mathbb{R}[/inlmath] za koje važi [inlmath]f(b)=b[/inlmath] i [inlmath]f(a)=a[/inlmath] i neka one pripadaju nekom intervalu [inlmath](x,y)\subset\mathbb{R}[/inlmath]. Kako je [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath], za nju, na intervalu [inlmath](x,y)[/inlmath], važe uslovi Lagranžove teoreme. Na osnovu uslova zadatka [inlmath](\forall x\in\mathbb{R})f'(x)\ne1[/inlmath] i Lagranžove teoreme dolazimo do kontradikcije.

Re: "Teorijski zadatak" – diferencijabilna funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 30. Avgust 2018, 07:26
od Igor
Na osnovu Lagranžove teoreme sledi da postoji [inlmath]z\in(x,y)[/inlmath] takvo da važi:
[dispmath]\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f'(z).[/dispmath] Ovde je po uslovu zadatka svakako [inlmath]f'(z)\ne1[/inlmath], ali nije mi jasno kako odavde da izvučem kontradikciju, jer su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] tačke na krajevima intervala, a ne tačke [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] (koje pripadaju tom intervalu). Da li da primenimo Lagranžovu teoremu na [inlmath](a,b)[/inlmath]?

Re: "Teorijski zadatak" – diferencijabilna funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 30. Avgust 2018, 09:27
od Corba248
Kao što rekoh, neko će me ispraviti, u ovom slučaju ja.
Stvarno ne znam šta sam petljao sa [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] kad treba posmatrati [inlmath](x,y)[/inlmath] i pokazati da ne mogu postojati (prema uslovima zadatka) dve tačke [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takve da je [inlmath]f(y)=y[/inlmath] i [inlmath]f(x)=x[/inlmath]. Kako je [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] ona je neprekidna na [inlmath][x,y][/inlmath] te možemo primeniti Lagranžovu teoremu. Ako bi postojale dve takve tačke ([inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]) onda bi na osnovu Lagranžove teoreme postojalo [inlmath]z\in(x,y)[/inlmath] takvo da je
[dispmath]\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{y-x}{y-x}=1=f'(z)[/dispmath] što je kontradikcija (zbog uslova [inlmath](\forall x\in\mathbb{R})\;f'(x)\ne1[/inlmath]).

Re: "Teorijski zadatak" – diferencijabilna funkcija

PostPoslato: Četvrtak, 30. Avgust 2018, 09:37
od Igor
Da, upravo to sam i ja predlozio. Hvala :)