Uniformna konvergencija

PostPoslato: Petak, 14. Septembar 2018, 20:24
od Akke
Pozdrav imam jedno teorijsko pitanje. Sta znaci to kada se kaze da funkcionalan red uniformno konvergira. Eto ako neko moze malo da pojasni taj pojam na nekom primeru npr zasto ovaj red ne konvergira uniformno [inlmath]\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n-1}(1-x)[/inlmath]
a zasto ovaj konvergira ravnomerno (uniformno) [inlmath]\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{x^2+n}[/inlmath]

Re: Uniformna konvergencija

PostPoslato: Subota, 15. Septembar 2018, 19:07
od Corba248
Da bi funkcionalni red uniformno konvergirao na [inlmath](a,b)[/inlmath] za svako [inlmath]\epsilon>0[/inlmath] mora postojati [inlmath]n_0(\epsilon)\in \mathbb{N}[/inlmath] takvo da važi implikacija [inlmath]n\ge n_0(\epsilon)\Rightarrow |R_n(x)|<\epsilon[/inlmath] i ovo važi za svako [inlmath]x\in (a,b)[/inlmath] ([inlmath]R_n(x)[/inlmath] je ostatak).
Ova definicija se razlikuje od definicije obične (ili tačka po tačka) konvergencije po tome što je kod obične konvergencije [inlmath]n_0=n_0(\epsilon, x)[/inlmath] i tada je implikacija [inlmath]n\ge n_0(\epsilon)\Rightarrow |R_n(x)|<\epsilon[/inlmath] tačna za neko [inlmath]x\in (a,b)[/inlmath] (fiksirano), a ne nužno za svako.
Iz uniformne konvergencije sledi obična konvergencija.

Na kojim intervalima posmatramo redove koje si naveo?