Pokazati da je skup povezan

PostPoslato: Ponedeljak, 28. Januar 2019, 15:14
od Orfeus
Pokazati da je skup [inlmath]A[/inlmath] povezan:
[dispmath]A=\{(x,y)\mid x^2+(y-3)^2\le4\}\cap\{(x,y)\mid x^2+y^2\le2\}[/dispmath]
Intuitivno mi je jasno da vjerovatno treba dokazati da je putevima povezan, tj vidi se da za svake dvije tacke [inlmath]x,y\in A[/inlmath] segment [inlmath][x,y]\subset A[/inlmath], pa ako je putevima povezan, po teoremi je [inlmath]A[/inlmath] i povezan. Nego, kako to formalno odraditi?

Re: Pokazati da je skup povezan

PostPoslato: Utorak, 29. Januar 2019, 12:19
od ubavic
Da, u ovom zadatku je dovoljno dokazati da je skup putno povezan. Prvo ću ti dati jednu definiciju: Skup [inlmath]S\subset \mathbf{R}^n[/inlmath] je konveksan ako za sve [inlmath]x, y\in S[/inlmath] važi [inlmath][x,y]\subset S[/inlmath].
Da bi završio zadatak dokaži naredna tri tvrđenja:
1. Disk je konveksan skup.
2. Presek dva konveksna skupa je konveksan skup.
3. Svaki konveksan skup je putno povezan.
Iz 1. i 2. sledi da je skup [inlmath]A[/inlmath] iz tvog zadatka konveksan, pa po 3. sledi da je i putno povezan, a samim tim i povezan. Tri tvrđenja koja sam naveo su sasvim jednostavna, i ako shvatiš definiciju konveksnog skupa videćeš da su dokazi trivijalni.

Dve napomene (za tebe, ali i za ostale koji će ovaj post čitati):
1. Konveksnost skupa je mnogo jače svojstvo od putne povezanosti (to je zato što je za putnu povezanost dovoljan put, koji ne mora biti i segment, odnosno duž). Nećeš moći svaki zadatak uraditi na ovu foru.
2. U opštem slučaju povezani skupovi ne moraju biti i putno povezani, ali otvoreni skupovi prostora [inlmath]\mathbf{R}^n[/inlmath] su povezani ako i samo ako su putno povezani.