Stranica 1 od 1

Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

PostPoslato: Petak, 08. Novembar 2019, 15:19
od sekigan
Neka je [inlmath]A\subset\mathbb{R}[/inlmath] ograničen i zatvoren skup. Dokazati da je [inlmath]\sup A\in A[/inlmath] i [inlmath]\inf A\in A[/inlmath]. Podeliću pristup koji sam koristio za [inlmath]\sup A[/inlmath], slično je i za [inlmath]\inf A[/inlmath]. Postojanje supremuma i infimuma sledi iz aksiome supremuma (infimuma). Pristupio sam ovom zadatku tako što sam uzeo dva slučaja. [inlmath]\sup A[/inlmath] može biti ili tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ili izolovana tačka. Pretpostavimo da je tačka nagomilavanja, po definiciji, ukoliko je skup [inlmath]A[/inlmath] zatvoren, moraju mu pripadati i sve njegove tačke nagomilavanja. Tako smo dokazali da [inlmath]\sup A\;(\inf A)\in A[/inlmath]. Deo koji me buni je dokazivanje kada je supremum izolovana tačka. Jasno mi je postoji [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] za koju [inlmath]\varepsilon[/inlmath]-okolina supremuma sadrži konačan broj tačaka iz skupa [inlmath]A[/inlmath]. Ali nisam siguran kako da nastavim.

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

PostPoslato: Petak, 08. Novembar 2019, 15:47
od sekigan
Sada sam pročitao u skripti da je, po definiciji, tačka izolovana samo ako postoji okolina za koju je presek te okoline i skupa upravo ta tačka. Samim tim, ukoliko je supremum izolovana tačka, onda će po definiciji pripadati skupu [inlmath]A[/inlmath]. Ali šta se dešava kada supremum nije ni izolovana tačka, ni tačka nagomilavanja?

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

PostPoslato: Petak, 08. Novembar 2019, 23:54
od ubavic
sekigan je napisao:Postojanje supremuma i infimuma sledi iz aksiome supremuma (infimuma).

To sledi iz aksiome supremuma, ali samo ako je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup, što nije navedeno u postavci tvog zadatka. Taj uslov nedostaje da bi tvrđenje uopšte bilo tačno....

sekigan je napisao:Pristupio sam ovom zadatku tako što sam uzeo dva slučaja. [inlmath]\sup A[/inlmath] može biti ili tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ili izolovana tačka.

sekigan je napisao:Sada sam pročitao u skripti da je, po definiciji, tačka izolovana samo ako postoji okolina za koju je presek te okoline i skupa upravo ta tačka.

Ovde si napravio grešku. Da li važi ova disjunkcija? Po definiciji tačka [inlmath]x[/inlmath] je tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ako u svakoj njenoj okolini postoji beskonačno mnogo tačaka skupa [inlmath]A[/inlmath]. Prema tome, ako tačka [inlmath]x[/inlmath] nije tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath], tada ona ima okolinu u kojoj se ne nalaze tačke skupa [inlmath]A[/inlmath] sem eventualno nje same (tj. postoji otvoren skup [inlmath]U[/inlmath] takav da [inlmath]x\in U[/inlmath], i važi [inlmath]A\cap U=\emptyset[/inlmath] ili [inlmath]A\cap U=\left\{x\right\}[/inlmath]).

Ako je [inlmath]\sup A[/inlmath] tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath], tada mu ona i pripada jer je [inlmath]A[/inlmath] po pretpostavci zatvoren. Taj deo dokaza je OK (mada si mogao malo lepše da ga sročiš). Ostaje ti još da proveriš šta se dešava kada [inlmath]\sup A[/inlmath] nije tačka nagomilavanja? Mala pomoć: to se ne može nikako desiti jer je [inlmath]\sup A[/inlmath] po definiciji najmanje gornje ograničenje.

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

PostPoslato: Subota, 09. Novembar 2019, 00:23
od sekigan
ubavic je napisao:To sledi iz aksiome supremuma, ali samo ako je [inlmath]A[/inlmath] neprazan skup, što nije navedeno u postavci tvog zadatka. Taj uslov nedostaje da bi tvrđenje uopšte bilo tačno....

Ovo je i mene zbunilo na početku, ali ovako je stajao tekst u skripti pa sam ga samo prepisao. Koristimo još uvek preliminarnu verziju skripte pa neretko naletimo na greške.

Hvala na objašnjenju, jasan mi je sad deo dokaza koji mi je nedostajao.

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

PostPoslato: Utorak, 12. Novembar 2019, 19:29
od Onomatopeja
Alternativni dokaz: pretpostavimo suprotno, da [inlmath]\sup A \notin A.[/inlmath] Tada [inlmath]\sup A \in A^\mathsf{c}.[/inlmath] Kako je [inlmath]A[/inlmath] zatvoren, to je [inlmath]A^\mathsf{c}[/inlmath] otvoren skup, pa postoji neka okolina od [inlmath]\sup A[/inlmath] koja cela ne pripada skupu [inlmath]A,[/inlmath] sto je u kontradikciji sa definicijom od [inlmath]\sup A.[/inlmath] Isto se radi i za [inlmath]\inf A.[/inlmath] Naravno, ogranicenost od [inlmath]A[/inlmath] se koristi kao sto ste i rekli, za egzistenciju od [inlmath]\inf A[/inlmath] i [inlmath]\sup A.[/inlmath]

Re: Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa

PostPoslato: Utorak, 12. Novembar 2019, 22:44
od sekigan
Taj dokaz bi verovatno zahtevao dodatno dokazivanje da je [inlmath]A^\mathsf{c}[/inlmath] otvoren ukoliko je A zatvoren, ali baš danas sam prešao taj deo, tako da je odlično što ste danas postavili. Hvala!