Supremum (infimum) zatvorenog ograničenog skupa
Poslato: Petak, 08. Novembar 2019, 15:19
Neka je [inlmath]A\subset\mathbb{R}[/inlmath] ograničen i zatvoren skup. Dokazati da je [inlmath]\sup A\in A[/inlmath] i [inlmath]\inf A\in A[/inlmath]. Podeliću pristup koji sam koristio za [inlmath]\sup A[/inlmath], slično je i za [inlmath]\inf A[/inlmath]. Postojanje supremuma i infimuma sledi iz aksiome supremuma (infimuma). Pristupio sam ovom zadatku tako što sam uzeo dva slučaja. [inlmath]\sup A[/inlmath] može biti ili tačka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] ili izolovana tačka. Pretpostavimo da je tačka nagomilavanja, po definiciji, ukoliko je skup [inlmath]A[/inlmath] zatvoren, moraju mu pripadati i sve njegove tačke nagomilavanja. Tako smo dokazali da [inlmath]\sup A\;(\inf A)\in A[/inlmath]. Deo koji me buni je dokazivanje kada je supremum izolovana tačka. Jasno mi je postoji [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] za koju [inlmath]\varepsilon[/inlmath]-okolina supremuma sadrži konačan broj tačaka iz skupa [inlmath]A[/inlmath]. Ali nisam siguran kako da nastavim.