Stranica 1 od 1

Morfizam i izomorfizam

PostPoslato: Nedelja, 25. Oktobar 2020, 17:08
od Griezzmiha
Dobar dan, gospodo... Zanima me znacenje reci morfizam (koje ja bar tretiram kao preslikavanje ili funkciju, zavisno od oblasti matematike o kojoj pricamo)... Te ce me zanimati dobro li ja tretiram sam pojam? Takodje cu ispisati definiciju samog pojma, ciju svrhu i cilj pokusavam, ali ne mogu razaznati...

Definicija: Uredjeno polje [inlmath](S_1,+_1,\cdot_1,\le_1)[/inlmath] i [inlmath](S_2,+_2,\cdot_2,\le_2)[/inlmath] su morfna ako postoji bijekcija [inlmath]f\colon S\to S_1[/inlmath] 1-1 i NA, tako da su ispunjena sledeca tri zahteva:

1. [inlmath]f(s+_1t)=f(s)+_2f(t)[/inlmath];
2. [inlmath]f(s\cdot_2 t)=f(s)\cdot_2f(t)[/inlmath];
3. [inlmath]f(s)\le_2 f(t)\iff s\le_1t[/inlmath].

Zanima me ako mozete uprostiti definiciju, kojoj mozda nazirem tu i tamo neku svrhu... Ali ne pronalazim odgovora, iscitao sam je nekih 40ak puta polako i koncizno ali nije to to i dalje.... I naravno ovi zahtevi, njih tek ne kapiram, ne znam kako dolazi do ovih promena kod modula sabiranja/mnozenja/relacije (manje jednako tj. [inlmath]\le[/inlmath]).

Primeticete i pojam izomorfizma koji sam napomenuo u naslovu, zanima me samo ima li on ikakve veze sa morfizmom, i ako ima (sto pretpostavljam po imenu), mozete li njega onako ukratko objasniti? Mnogo se stvari vrti oko teorije, a profesori je samo izdeklamuju, sto me cesto ostavlja u nedoumici sta i o cemu mi zapravo pricamo... Retko dobijem neko konkretno objasnjenje, imate li mozda neki savet za ovaj, reci cu problem slobodno, jer se cesto uhvatim da mi definicije zadaju ozbiljne galvobolje. Neki savet da ih brze shvatim, u toku i van predavanja i slicno...

Re: Morfizam i izomorfizam

PostPoslato: Ponedeljak, 26. Oktobar 2020, 01:29
od ubavic
Da, morfizmi su preslikavanja koja čuvaju nekakvu strukturu. Kakva struktura je u pitanju, to zavisi od toga o čemu se govori. Ti ćeš se na početku fakulteta uglavnom upoznavati sa morfizmima algebarskih struktura (tj. grupa, prstena, polja i na kraju vektorskih prostora). Na primer, morfizam (ili češto rečeno homomorfizam) [inlmath]f\colon A\rightarrow B[/inlmath] grupa [inlmath](A, \cdot_A)[/inlmath] i [inlmath](B, \cdot_B)[/inlmath] je preslikavanje skupa [inlmath]A[/inlmath] u skup [inlmath]B[/inlmath] takvo da je [inlmath]f(a_1 \cdot_A a_2) = f(a_1) \cdot_B f(a_2)[/inlmath] za sve [inlmath]a_1,a_2\in A[/inlmath]. Slična definicija važi i za prsten sa jedinicom: homomorfizam prstena [inlmath]\mathbb R = (R, +_R, \cdot_R, 1_R)[/inlmath] i [inlmath]\mathbb S = (S, +_S, \cdot_S, 1_S)[/inlmath] je svako preslikavanje [inlmath]F\colon R \rightarrow S[/inlmath] takvo da je [inlmath]F(r_1 +_R r_2) = F(r_1) +_S F(r_2)[/inlmath] i [inlmath]F(r_1 \cdot_R r_2) = F(r_1) \cdot_S F(r_2)[/inlmath] za sve [inlmath]r_1,r_2\in R[/inlmath], i važi [inlmath]F(1_R) = 1_S.[/inlmath] Kako su polja specijalni slučajevi prstena s jedinicom, definicija homomorfizma polja je ista kao definicija prstena (samo što obe strukture moraju biti polje).
Za morfizam [inlmath]f\colon A\rightarrow B[/inlmath] između grupa (prstena, polja...) kažemo da je izomorfizam ako je [inlmath]f[/inlmath] bijekcija i [inlmath]f^{-1}\colon B\rightarrow A[/inlmath] je takođe morfizam grupa (prstena, polja...). Strukture koje su izomorfne, suštinski su iste.

Primer jednog homomorfizma polja je [inlmath]f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb C[/inlmath] zadato sa [inlmath]f(r) = r+i0[/inlmath] za svako [inlmath]r\in \mathbb R[/inlmath] (ovakav homomorfizam se zove utapanje, jer ne radi ništa specijalno, samo "utapa" realne brojeve u kompleksne). Ovaj homomorfizam nije izomorfizam, jer nije surjektivan.
Primer jednog izomorfizma polja je [inlmath]g\colon \mathbb C \rightarrow \mathbb C[/inlmath] zadato sa [inlmath]g(z) = \bar z[/inlmath] za svako [inlmath]r\in \mathbb C[/inlmath] (odnosno u pitanju je dobro poznata konjugacija kompleksnih brojeva). Tebi ostavljam da proveriš da je ovo izomorfizam.

U ovoj definiciji radi se o (izo)morfizmima (da li si siguran da je baš morfizam, da nije to definicija izomorfizma što si naveo?) uređenih polja. Zbog toga je dodat uslov 3. o očuvanju poretka (ovde nije naveden uslov da se jedinica jednog polja slika u jedinicu drugog polja, ali to se može uraditi tako iz nekih razloga u koje neću sad da ulazim....).

Primer morfizma između uređenih polja je utapanje racionalnih brojeva [inlmath]\mathbb Q[/inlmath] u realne [inlmath]\mathbb R[/inlmath] (kompleksno polje ne može biti uređeno, zbog toga ovde nemamo primera sa [inlmath]\mathbb C[/inlmath]). Ne mogu se setiti nekog ilustrativnog primera izomorfizma uređenih polja....

Ono što tebe buni ovde su izgleda oznake. U ovom kontekstu, indeks pored znaka za sabiranje ne označava sabiranje po modulu, već sabiranje u prvom, odnosno, drugom uređenom polju (i slično za množenje).