Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Sve što spada u matematiku a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Baja775 » Nedelja, 18. Novembar 2018, 20:02

Trebam dokazati
[dispmath]n^{2n}>(2n)![/dispmath] Uradio sam 1. korak za
[dispmath]n=1,\;n=2,\;n=3[/dispmath] i tacno je tek kada se uzme [inlmath]3[/inlmath].
Zatim u 2. koraku odredio
predpostavka:
[dispmath]n=k,\quad k^{2k}>(2k)![/dispmath] i tvrdnja:
[dispmath]n=k+1,\quad(k+1)^{2(k+1)}>\bigl(2(k+1)\bigr)![/dispmath] U 3. koraku imam problem. Krenem dokazivati:
[dispmath](k+1)^{2(k+1)}>\bigl(2(k+1)\bigr)!=(k+1)^{2k+2}>(2k+2)![/dispmath] Poslije ovog ne znam kako dalje. Moze li mi neko pomoći?
Baja775  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Daniel » Četvrtak, 22. Novembar 2018, 14:44

Pre svega, ovakav zapis nije korektan,
Baja775 je napisao:[dispmath](k+1)^{2(k+1)}>\bigl(2(k+1)\bigr)!=(k+1)^{2k+2}>(2k+2)![/dispmath]

jer jednakost nije tačna. Da umesto znaka jednakosti stoji znak implikacije [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] ili znak ekvivalencije [inlmath]\iff[/inlmath], to bi već imalo smisla.

Imaš, dakle, nejednakost koju treba dokazati, [inlmath](k+1)^{2k+2}>(2k+2)![/inlmath]. Levu stranu napiši kao [inlmath](k+1)^2(k+1)^{2k}[/inlmath], a desnu stranu kao [inlmath](2k+2)(2k+1)(2k)![/inlmath]. Zatim levu stranu napiši kao [inlmath](k+1)^2\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}k^{2k}[/inlmath]. Novi oblik nejednačine će zatim glasiti
[dispmath](k+1)^2\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}k^{2k}>(2k+2)(2k+1)(2k)![/dispmath] Pošto po indukcijskoj pretpostavci već imamo da je [inlmath]k^{2k}>(2k)![/inlmath], potrebno je dokazati da je [inlmath](k+1)^2\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}\ge(2k+2)(2k+1)[/inlmath].
Za niz [inlmath]a_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k[/inlmath] znamo da je vrednost njegovih članova u intervalu [inlmath][2,e)[/inlmath] (taj niz je monotono rastući, što bi trebalo da je poznato, a može se i dokazati), što znači da je [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}\ge4[/inlmath]. Ostalo je još dokazati da je [inlmath]4(k+1)^2\ge(2k+2)(2k+1)[/inlmath], što ide rutinski, na levoj strani se razvije kvadrat binoma a na desnoj strani se binomi izmnože (a može, uostalom, i da se [inlmath]4(k+1)^2[/inlmath] napiše kao [inlmath](2k+2)^2[/inlmath])...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Baja775 » Nedelja, 25. Novembar 2018, 16:05

Prvenstveno hvala na odgovoru. Sada mi nije jasno:
1. Kako ste iz
[dispmath](k+1)^{2k}[/dispmath] dobili
[dispmath]\left(1+\frac1k\right)^{2k}[/dispmath]
2. Kakav je niz
[dispmath]\left(1+\frac1k\right)^k,\;[2,e][/dispmath] i kako ste dobili da je veci ili jednak [inlmath]4[/inlmath]?
3. Kada odradim ovo na kraju dobijem
[dispmath]4k^2+2k+1>4k^2+6k+2[/dispmath] sto ne bi trebalo biti tacno
Baja775  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Novembar 2018, 00:12

Baja775 je napisao:1. Kako ste iz
[dispmath](k+1)^{2k}[/dispmath] dobili
[dispmath]\left(1+\frac1k\right)^{2k}[/dispmath]

Prvo, ako može bez persiranja. Iz [inlmath](k+1)^{2k}[/inlmath] nisam dobio [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}[/inlmath], već sam dobio [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}k^{2k}[/inlmath]. A to sam dobio tako što sam iz [inlmath](k+1)[/inlmath] izvukao [inlmath]k[/inlmath] ispred zagrade:
[dispmath](k+1)^{2k}=\left[k\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]^{2k}=k^{2k}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}[/dispmath]
Baja775 je napisao:2. Kakav je niz
[dispmath]\left(1+\frac1k\right)^k,\;[2,e][/dispmath] i kako ste dobili da je veci ili jednak [inlmath]4[/inlmath]?

Nigde nisam napisao da je [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^k[/inlmath] veći ili jednak [inlmath]4[/inlmath], ali sam napisao da je [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{{\color{red}2}k}[/inlmath] veći ili jednak [inlmath]4[/inlmath]:
[dispmath]\left.\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\ge2\quad\right/(\;)^2\\
\Longrightarrow\quad\left[\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\right]^2\ge2^2\\
\Longrightarrow\quad\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}\ge4[/dispmath] Što se tiče niza [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath], on je monotono rastući, minimalna vrednost mu je [inlmath]2[/inlmath] (za [inlmath]n=1[/inlmath]), a njegova monotonost se u okviru kursa analize obično dokazuje kada se na predavanju prvi put govori o broju [inlmath]e[/inlmath] (pošto taj niz konvergira upravo ka tom broju). Tom prilikom se dokazuje i da je taj niz uvek strogo manji od [inlmath]3[/inlmath], odakle se zaključuje da on konvergira ka nekoj vrednosti između [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], tj. da se broj [inlmath]e[/inlmath] nalazi u tom intervalu. Nakon toga, podrazumeva se da je poznato da je niz [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] monotono rastući i da uzima vrednosti iz intervala [inlmath][2,3)[/inlmath].

Pošto je u ovom zadatku bitno da je niz [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] monotono rastući (a nije bitno i da je ograničen), ja ću sad izložiti dokaz da je monotono rastući. A ako nekog bude zanimao i dokaz za ograničenost, mogu i njega naknadno pokazati.
Radi dokazivanja monotonosti ovog niza, potrebno je pokazati da važi [inlmath]\frac{a_n}{a_{n-1}}>1[/inlmath].
[dispmath]\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\left(\frac{1+\frac{1}n}{1+\frac{1}{n-1}}\right)^n=\left(\frac{n-\cancel1+\cancel1}{n-1}\right)\left(\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n-\cancel1+\cancel1}{n-1}}\right)^n=\\
=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\
=\left(\frac{n}{n-1}\right)\Biggl(1-{n\choose0}\frac{1}{n^2}+{n\choose1}\frac{1}{n^4}-{n\choose2}\frac{1}{n^6}+\cdots+(-1)^n{n\choose n}\frac{1}{n^{2n}}\Biggr)>\\
>\left(\frac{n}{n-1}\right)\Biggl(1-{n\choose0}\frac{1}{n^2}\Biggr)=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)=\left(\frac{n}{n-1}\right)\left(\frac{n-1}{n}\right)=1\\
\Longrightarrow\quad\enclose{box}{\frac{a_n}{a_{n-1}}>1}[/dispmath] čime je dokazano da je niz monotono rastući.

Baja775 je napisao:3. Kada odradim ovo na kraju dobijem
[dispmath]4k^2+2k+1>4k^2+6k+2[/dispmath] sto ne bi trebalo biti tacno

Ne valja ti leva strana, tj. nisi dobro razvio [inlmath]4(k+1)^2[/inlmath]. Ako ispred zagrade imaš četvorku, onda je logično da u razvoju mora i svaki sabirak biti deljiv četvorkom, zar ne?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Baja775 » Petak, 30. Novembar 2018, 22:18

Hvala ti opet. Jedino sto u 3. još nismo radili nizove niti broj [inlmath]e[/inlmath], pa ima li neki drugi način bez upotrebe toga?
Baja775  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Daniel » Petak, 30. Novembar 2018, 23:45

A jeste li radili razvoj binoma na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Baja775 » Subota, 01. Decembar 2018, 20:50

da, to smo radili
Baja775  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dokaz nejednakosti pomoću matematičke indukcije

Postod Daniel » Nedelja, 02. Decembar 2018, 02:27

Ako ste radili razvoj binoma na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, onda si mogao ispratiti ovaj postupak koji sam pokazao, bez obzira na to što niste radili broj [inlmath]e[/inlmath].
Ipak, pošto niste radili broj [inlmath]e[/inlmath], može se i zaobići monotonost niza [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath]. Vratimo se na sledeći korak:
Daniel je napisao:[dispmath](k+1)^2\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}k^{2k}>(2k+2)(2k+1)(2k)![/dispmath] Pošto po indukcijskoj pretpostavci već imamo da je [inlmath]k^{2k}>(2k)![/inlmath], potrebno je dokazati da je [inlmath](k+1)^2\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}\ge(2k+2)(2k+1)[/inlmath].

Faktor na levoj strani, [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}[/inlmath], razvijamo po formuli za razvoj stepena binoma:
[dispmath]\begin{align}
\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}&=1+{2k\choose1}\frac{1}{k}+{2k\choose2}\frac{1}{k^2}+{2k\choose3}\frac{1}{k^3}+\cdots+{2k\choose2k}\frac{1}{k^{2k}}\\
&=1+2\cancel k\frac{1}{\cancel k}+\frac{2\cancel k(2k-1)}{2}\frac{1}{k^{\cancel2}}+\frac{2k(2k-1)(2k-2)}{3!}\frac{1}{k^3}+\cdots\\
&=1+2+2-\frac{1}{k}+\cdots\\
&=5-\frac{1}{k}+\cdots
\end{align}[/dispmath] Pošto su svi članovi razvoja pozitivni, to znači da, ako formiramo novu sumu od samo prvih nekoliko sabiraka, ta nova suma biće manja od prethodne sume, tj.
[dispmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}=5-\frac{1}{k}+\cdots>5-\frac{1}{k}[/dispmath] a pošto je [inlmath]\frac{1}{k}[/inlmath] manje od jedinice (jer je [inlmath]k[/inlmath] veće od jedinice), to će biti
[dispmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}>5-\frac{1}{k}>4[/dispmath] čime je pokazano da faktor [inlmath]\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}[/inlmath] mora biti veći od [inlmath]4[/inlmath], iz čega sledi da za levu stranu početne nejednakosti (navedene na kraju citata) važi
[dispmath](k+1)^2\left(1+\frac{1}{k}\right)^{2k}>4(k+1)^2[/dispmath] Sada nije problem dokazati da leva strana nejednakosti, pošto je veća od [inlmath]4(k+1)^2[/inlmath], takođe mora biti veća i od desne strane, [inlmath](2k+2)(2k+1)[/inlmath]. Taj završetak prepuštam tebi.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7361
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3827 puta
Pohvaljen: 3971 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 14. Decembar 2018, 20:00 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs