Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Rekurentne relacije i nizovi

Sve što spada u matematiku a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Rekurentne relacije i nizovi

Postod asc108 » Subota, 19. Septembar 2020, 12:18

Pozdrav, zanima me koja je ideja iza
1) resavanja sistema rekurentnih relacija, odnosno (nasumican primer):
[dispmath]f_n=2f_{n-1}+g_{n-1}\\
g_n=f_{n-1}+2g_{n-1}[/dispmath] sa pocetnim uslovima
[inlmath]f_0=1[/inlmath] i [inlmath]g_0=2[/inlmath]

2) Nalazenje niza koji je zadat sa:
[dispmath]x_{n+1}=\frac{1-4x_n}{1-6x_n}[/dispmath] ako je [inlmath]x_0=1[/inlmath]

Hvala unapred :D
asc108  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Rekurentne relacije i nizovi

Postod primus » Subota, 19. Septembar 2020, 12:59

1.
[dispmath]\begin{cases}
f_1=2\cdot1+2=4\\
g_1=1+2\cdot2=5
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\begin{cases}
f_2=2\cdot4+5=13\\
g_2=4+2\cdot5=14
\end{cases}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
2.
[dispmath]x_1=\frac{1-4}{1-6}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{1-4\cdot\frac{3}{5}}{1-6\cdot\frac{3}{5}}=\frac{\frac{5-12}{5}}{\frac{5-18}{5}}=\frac{\frac{-7}{5}}{\frac{-13}{5}}=\frac{7}{13}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 123
Zahvalio se: 8 puta
Pohvaljen: 128 puta

  • +1

Re: Rekurentne relacije i nizovi

Postod ubavic » Subota, 19. Septembar 2020, 17:07

Prvi niz možeš zapisati u obliku
[dispmath]\begin{bmatrix}
f_{n+1}\\
g_{n+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
f_n\\
g_n
\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}
f_n\\
g_n
\end{bmatrix}.[/dispmath] Zbog toga je
[dispmath]\begin{bmatrix}
f_n\\
g_n
\end{bmatrix}=A^n\begin{bmatrix}
f_0\\
g_0
\end{bmatrix}.[/dispmath] Sada se problem svodi na traženje stepena matrice [inlmath]A[/inlmath], što se može uraditi metodama linearne algebre (suština je da se matrica [inlmath]A[/inlmath] svede na dijagonalnu ili barem trougaonu). Sličan postupak je objašnjen ovde.

Za drugi niz možeš definisati funkciju
[dispmath]f(x)=\frac{1-4x}{1-6x},[/dispmath] i potražiti privih nekoliko kompozicija [inlmath]f,f\circ f,f\circ f\circ f,\dots[/inlmath]. Tada možeš primetiti da je
[dispmath]f^n(x)=\frac{\alpha_nx+\beta_n}{\gamma_nx+\delta_n}[/dispmath] gde su [inlmath]\alpha_n[/inlmath], [inlmath]\beta_n[/inlmath], [inlmath]\gamma_n[/inlmath] i [inlmath]\delta_n[/inlmath] nizovi definisani rekurentno sa
[dispmath]\begin{matrix}
\alpha_1=-4,\qquad & \alpha_{n+1}=2\alpha_n+2,\\
\beta_1=1,\qquad & \beta_{n+1}=2\beta_n+1,\\
\gamma_1=-6,\qquad & \gamma_{n+1}=2\gamma_n+6,\\
\delta_1=1,\qquad & \delta_{n+1}=2\delta_n+3.
\end{matrix}[/dispmath] Ovo možeš dokazati indukcijom. Dalje je potrebno naći eksplicitne izraze za rekurentne nizove [inlmath]\alpha_n[/inlmath], [inlmath]\beta_n[/inlmath], [inlmath]\gamma_n[/inlmath] i [inlmath]\delta_n[/inlmath]. Taj postupak je objašnjen u postu koji sam gore linkovao.

Međutim, može se zadatak malo elegantnije uraditi. Funkcija [inlmath]f[/inlmath] pripada klasi takozvanih Mebijusovih transformacija. Mebijusove transformacije su automorfizmi kompleksne projektivne prave [inlmath]\mathsf{P}^1\mathbb{C}[/inlmath]. Grupa svih Mebijusovih transformacija je zapravo projektivna linearna grupa [inlmath]\mathsf{PGL}_2\mathbb{C}[/inlmath], a množenje u ovoj grupi je zapravo množenje matrica. Zbog toga za Mebijusovu transformaciju
[dispmath]f(x)=\frac{Ax+B}{Cx+D},[/dispmath] važi
[dispmath]f^n(x)=\frac{A_nx+B_n}{C_nx+D_n}[/dispmath] gde je
[dispmath]\begin{bmatrix}
A_n & B_n\\
C_n & D_n
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}^n.[/dispmath] Uostalom, videćeš da se prethodno opisan postupak slaže sa ovim komentarom (ali sada je malo jasnije šta se dešava).
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 556
Zahvalio se: 359 puta
Pohvaljen: 547 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Oktobar 2020, 08:11 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs