Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 3. razred
U Skupštini je podjeljeno [inlmath]200[/inlmath] poslaničkih mjesta između [inlmath]8[/inlmath] političkih stranaka tako da nikojih [inlmath]5[/inlmath] stranaka nema dvotrećinsku većinu. Dokazati da postoje dvije stranke koje imaju jednak broj poslanika.
Kao prvo zbunjuje me nikojih [inlmath]5[/inlmath] stranaka. Šta to podraumjeva? Tačnije sta podrazumjeva "nikojih"? Jer ako to ne znam uopste ne mogu da krenem sa rjesavanjem zadatka.
Rjesenje:
1) Predpostavimo suprotno,da za brojeve poslaničkih mjesta tih stranaka vrijedi
[dispmath]x_1<x_2<\cdots <x_8[/dispmath]
2) Iz uslova zadatka slijedi da je
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<\frac{2}{3}\cdot 200<134[/dispmath]
3) Odavde slijedi da je [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] je bismo u suprotnom imali da je
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\ge 25+26+27+28+29=135[/dispmath]
4) Dalje iz [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath] slijedi da je [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] jer bismo u suprotnom imali da je
[dispmath]x_1+x_2+x_3\le 21+22+23=66[/dispmath]
5) Iz [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] i [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] slijedi [inlmath]x_3\ge x_4[/inlmath]. Kontradikcija.