Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Poslanici u Skupštini

Sve što spada u matematiku a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Poslanici u Skupštini

Postod Gamma » Sreda, 22. Oktobar 2014, 01:50

Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 7.4.2012. – 3. razred

U Skupštini je podjeljeno [inlmath]200[/inlmath] poslaničkih mjesta između [inlmath]8[/inlmath] političkih stranaka tako da nikojih [inlmath]5[/inlmath] stranaka nema dvotrećinsku većinu. Dokazati da postoje dvije stranke koje imaju jednak broj poslanika.

Kao prvo zbunjuje me nikojih [inlmath]5[/inlmath] stranaka. Šta to podraumjeva? Tačnije sta podrazumjeva "nikojih"? Jer ako to ne znam uopste ne mogu da krenem sa rjesavanjem zadatka.

Rjesenje:

1) Predpostavimo suprotno,da za brojeve poslaničkih mjesta tih stranaka vrijedi
[dispmath]x_1<x_2<\cdots <x_8[/dispmath]
2) Iz uslova zadatka slijedi da je
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<\frac{2}{3}\cdot 200<134[/dispmath]
3) Odavde slijedi da je [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] je bismo u suprotnom imali da je
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8\ge 25+26+27+28+29=135[/dispmath]
4) Dalje iz [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath] slijedi da je [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] jer bismo u suprotnom imali da je
[dispmath]x_1+x_2+x_3\le 21+22+23=66[/dispmath]
5) Iz [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] i [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] slijedi [inlmath]x_3\ge x_4[/inlmath]. Kontradikcija.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Poslanici u Skupštini

Postod Milovan » Sreda, 22. Oktobar 2014, 08:46

Posto te buni termin "nikojih"... U stvari kazu da nema pet stranaka koje bi zajedno presle [inlmath]2/3[/inlmath] clanstva. Odnosno, da je zbir clanova svake petorke stranaka manji od [inlmath]134[/inlmath]. Dakle:
[dispmath]x_1+x_2+\cdots +x_5<134[/dispmath][dispmath]x_2+x_3+x_5+x_7+x_8<134[/dispmath]
Itd. Svakih pet proizvoljnih razlicitih [inlmath]x_i[/inlmath] to zadovoljavaju.

A evo sta su oni uradili u resenju.

1) Pretpostavili su suprotno – da su brojevi poslanika svih stranaka razliciti, i dodelili hijerarhijski indekse tim brojkama tako da [inlmath]x_8[/inlmath] bude najvece, a [inlmath]x_1[/inlmath] najmanje.

2) Onda je iskoriscen ovaj vec objasnjen uslov sa "nikoji".

3) Zakljuceno je da je [inlmath]x_4\le 24[/inlmath], jer bi u suprotnom prethodni zbir premasio [inlmath]134[/inlmath].

4) Ako je [inlmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<134[/inlmath], onda je svakako i ostatak [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath], a to je moguce ako je [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath].

5) Spajanjem ovog sa prethodnim uslovom za [inlmath]x_4[/inlmath] dobijamo kontradikciju i time je tvrdjenje dokazano.
Korisnikov avatar
Milovan  OFFLINE
 
Postovi: 568
Zahvalio se: 356 puta
Pohvaljen: 704 puta

Re: Poslanici u Skupštini

Postod Gamma » Sreda, 22. Oktobar 2014, 21:56

Ovo zahtjeva veoma jako logičko razmišljanje.Jasno mi je nešto. Prije mi nije bilo ništa jasno.Jedino što me zbunjuje [inlmath]x_4\le 24[/inlmath] to je predpostavljam zbog ovoga. Ako može malo detaljnije o tome.Što [inlmath]24[/inlmath]?
[dispmath]x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6<x_7<x_8[/dispmath][dispmath]21<22<23<24<25<26<27<28[/dispmath]
Suma nije [inlmath]200[/inlmath] već [inlmath]196[/inlmath]
Ili ovi moji brojevi nemaju veze ni sa čim?Poenta je poredati bilo kakve brojeve samo da se dobije nejednakost? A [inlmath]24[/inlmath] i nije se moralo naći tu mogao je i neki drugi broj ?
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Poslanici u Skupštini

Postod Daniel » Sreda, 22. Oktobar 2014, 23:39

Ne, nije zbog toga.
U 2. koraku smo došli do nejednakosti
[dispmath]x_4+x_5+x_6+x_7+x_8<\frac{2}{3}\cdot 200<134[/dispmath]
Sada iz toga treba da odrediš kolika je najveća vrednost koju [inlmath]x_4[/inlmath] može imati. Pošto [inlmath]x_4,x_5,x_6,x_7,x_8[/inlmath] čine strogo rastući niz, iz ove nejednakosti je jasno da je maksimalna moguća vrednost za [inlmath]x_4[/inlmath] utoliko veća ukoliko su razlike između uzastopnih sabiraka manje. A pošto je najmanja moguća razlika dva uzastopna sabirka jednaka jedinici, razmatraćemo upravo taj slučaj u cilju određivanja maksimalne vrednsoti za [inlmath]x_4[/inlmath]. Znači, pretpostavljamo da je razlika dva uzastopna sabirka jednaka jedinici, tj. da je [inlmath]x_5=x_4+1,\;x_6=x_5+1,\;x_7=x_6+1,\;x_8=x_7+1[/inlmath]. To jest, [inlmath]x_5=x_4+1,\;x_6=x_4+2,\;x_7=x_4+3,\;x_8=x_4+4[/inlmath]. Nejednakost postaje:
[dispmath]x_4+\left(x_4+1\right)+\left(x_4+2\right)+\left(x_4+3\right)+\left(x_4+4\right)<134[/dispmath][dispmath]5x_4+1+2+3+4<134[/dispmath]
[inlmath]1+2+3+4[/inlmath] možeš izračunati kao sumu aritmetičkog niza, a možeš, jednostavno, i sabrati. :) U svakom slučaju, to je jednako [inlmath]10[/inlmath].
[dispmath]5x_4+10<134[/dispmath][dispmath]5x_4<124[/dispmath][dispmath]x_4<\frac{124}{5}[/dispmath][dispmath]x_4<24,8[/dispmath]
I, pošto [inlmath]x_4[/inlmath] mora biti prirodan broj,
[dispmath]x_4\le 24[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Poslanici u Skupštini

Postod Gamma » Četvrtak, 23. Oktobar 2014, 01:03

Sada zbunio si me sa tom najvećom vrijednosti. Kada kakve veze ima zadatak sa najvećom vrijednosti? Aj najbolje bi bilo da mi kažeš poentu svojim rijecima za rješavanje ovoga zadatka.Mislim na šta se sve svodi rješenje postepeno.Jer ja ovo sa najvećom vrijednosti stvarno ne mogu da skontam.A kada bi radio za ostatak ovako isto sa najvećom vrijednosti ispalo bi [inlmath]x_3\ge 23[/inlmath] a ne [inlmath]24[/inlmath].
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Poslanici u Skupštini

Postod Daniel » Četvrtak, 23. Oktobar 2014, 01:41

Gamma je napisao:Sada zbunio si me sa tom najvećom vrijednosti. Kada kakve veze ima zadatak sa najvećom vrijednosti?

Tvoje pitanje je bilo kako se došlo do [inlmath]x_4\le 24[/inlmath]. Drugim rečima, kako se došlo do toga da je [inlmath]24[/inlmath] najveća vrednost koju [inlmath]x_4[/inlmath] može imati. Upravo na to pitanje sam ti odgovorio.

Gamma je napisao:A kada bi radio za ostatak ovako isto sa najvećom vrijednosti ispalo bi [inlmath]x_3\ge 23[/inlmath] a ne [inlmath]24[/inlmath].

Dobije se [inlmath]x_3>23[/inlmath], a to znači [inlmath]x_3\ge 24[/inlmath] jer je [inlmath]x_3[/inlmath] prirodan broj. Polazi se od nejednakosti [inlmath]x_1+x_2+x_3>66[/inlmath]. Ako i dalje dobijaš pogrešan rezultat, pokaži svoj postupak da vidimo kako si radio.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Poslanici u Skupštini

Postod Gamma » Četvrtak, 23. Oktobar 2014, 10:56

Kao što već rekoh.Moraće mi ovo leći nekako.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 29 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:18 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs