Uroš je napisao:U nekolicini zadataka se ispostavilo da se dobije dobro rešenje, ako se uzme da je
[dispmath]a=b=\frac{1}{2}[/dispmath]
Uroš je napisao:Ukoliko se pretpostavi [inlmath]a=b=\frac{1}{2}[/inlmath], kao rešenje se dobija [inlmath]\frac{25}{4}+\frac{25}{4}\ge\frac{25}{2}[/inlmath] , što očigledno važi.
Uroš je napisao:Čisto da napomenem, zadatak može da se reši i uvođenjem smene
[dispmath]a=\frac{1}{2}+x,\enspace b=\frac{1}{2}-x,\enspace|x|\le\frac{1}{2}[/dispmath]
Kada se ta smena uvede u izraz, uoči se da je vrednost minimuma nastale funkcije [inlmath]\frac{25}{2}[/inlmath].
Uroš je napisao:Ipak, primetio sam da se primenom gore navedene metode još nekolicina zadataka, koje ću, ukoliko bude interesovanja, da prekucam, trivijalizuje. Stoga me interesuje može li to da se primeni,
Uroš je napisao:kao i da li potiče od nejednakosti koja se dobija iz kvadrata binoma
[dispmath]a+b\ge2\sqrt{ab}[/dispmath]
Daniel je napisao:Isprobao sam taj način, i nisam ubeđen da je baš najbolji. Izjednačavanjem prvog izvoda s nulom dobio sam, istina, [inlmath]x=0[/inlmath] kao jedno od rešenja, ali pored toga dobijem i jednu kubnu jednačinu s povećim koeficijentima, za koju ne mogu biti siguran da li možda takođe nosi neko rešenje u traženom intervalu.
Daniel je napisao:Ako možeš da pojasniš na šta tačno misliš? Boldovao sam deo koji bi valjalo da preciziraš – tj. da li pod gorenavedenom metodom (inače, piše se sastavljeno po pravopisu) podrazumevaš pretpostavku [inlmath]a=b=\frac{1}{2}[/inlmath], ili podrazumevaš smenu [inlmath]a=\frac{1}{2}+x,b=\frac{1}{2}−x,|x|≤12[/inlmath]? Obe metode su „gorenavedene“.
Uroš je napisao:Pre svega, da navedem još neki zadatak gde sam primenom "pravila" došao do tačnog rešenja (ista zbirka je u pitanju):
225. Ako je [inlmath]2x+4y=1[/inlmath], dokazati da je [inlmath]x^2+y^2\ge\frac{1}{20}[/inlmath].
Rešenje: Ako se pretpostavi [inlmath]2x=4y[/inlmath], dobije se [inlmath]\frac{5}{64}\ge\frac{5}{100}[/inlmath], što je tačno.
Uroš je napisao:226. Ako je [inlmath]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/inlmath], dokazati da je [inlmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\ge\frac{1}{2}[/inlmath].
Rešenje: Ako se pretpostavi [inlmath]\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{1}{2}[/inlmath], dobija se [inlmath]\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}[/inlmath], što je tačno.
Uroš je napisao:243. Neka je [inlmath]f(a,b)=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2[/inlmath]. Izračunati
[dispmath]\inf\left\{f(a,b)\;|\;a+b=1,\;a>0,\;b>0\right\}[/dispmath]
Rešenje: Primenom "pravila" da izraz [inlmath]a+b=1[/inlmath] ima minimalnu vrednost kada [inlmath]a=b=\frac{1}{2}[/inlmath], dobija se da je minimum izraza [inlmath]\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2[/inlmath] jednak [inlmath]\frac{25}{4}+\frac{25}{4}=\frac{25}{2}[/inlmath].
Uroš je napisao:Nisam bio dovoljno jasan u prethodnom postu, izvinjavam se. Naime, došao sam do zaključka da izraz [inlmath]a+b=1[/inlmath] ima minimum kada je [inlmath]a=b=\frac{1}{2}[/inlmath].
Uroš je napisao:Ja ne znam zašto je i da li je upravo [inlmath]a=b=\frac{1}{2}[/inlmath] minimum izraza, s tim ciljem i jesam pisao post. Čudno mi je da to nije slučajno, a čudno mi je i da je slučajno, jer sam to primenio u nekoliko zadataka i svaki put došao do tačnog rešenja.
Uroš je napisao:Što se tiče onoga u vezi sa kvadratom binoma, odnosno nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine, slažem se, moja greška; hvala Vam na ispravci. Mislio sam da "pravilo" možda "vuče" korene ( ) odatle...
Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju