Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Sve što spada u matematiku a ne spada u prethodno nabrojane rubrike
  • +1

Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod coa » Petak, 14. Oktobar 2016, 16:58

Ako neko moze da mi kaze nesto vise o ovoj temi, s obzirom da na netu nisam uspeo da pronadjem odgovarajucu literaturu na ovu temu, a i razumevanje onoga sto sam pronasao nije na zavidnom nivou :)
coa  OFFLINE
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod desideri » Petak, 14. Oktobar 2016, 18:22

Hajde u odgovoru najpre da krenem s jednom slikom, tj. grafikom:

parabola.png
parabola.png (1.43 KiB) Pogledano 1076 puta

Gauss (Karl Friedrich, 1777-1855) koga su za života prozvali "Princ matematike" i to s pravom je prvi rekao: "Kriva koja najmanje odstupa od zadatih tačaka najbolje aproksimira zavisnost, a to odstupanje se meri kvadratima jer se tako neutrališu pozitivna odstupanja (iznad krive) i negativna odstupanja (ispod krive). Naravno da se ne mogu totalno neutralisati, zato se i traži kriva po metodi najmanjih kvadrata odstupanja".

Hajde prvo teoretski da razmotrimo:
Neka je jednačina regresione parabole:
[inlmath]y=ax^2+bx+c[/inlmath]
Suma kvadrata odstupanja zadatih tačaka [inlmath](x_i,y_i)[/inlmath] od regresione parabole je:
[dispmath]S=\sum_{i=1}^n\left(y_i-ax_i^2-bx_i-c\right)^2[/dispmath]
Jako važno je ovde da je [inlmath]y_i[/inlmath] tačka iz uzorka, dok je [inlmath]ax_i^2+bx_i+c[/inlmath] tačka na regresionoj paraboli.

Ako smo se do sada razumeli, da nastavimo. Metod najmanjih kvadrata podrazumeva da funkcija tri promenljive (a promenljive su koeficijenti parabole tj [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath]) dostigne minimum.
Tražimo parcijalne izvode funkcije [inlmath]S[/inlmath] po [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i izjednačavamo ih s nulom.
To je potreban ali u ovom slučaju i dovoljan uslov za minimum sume kvadrata odstupanja tačaka ispod i iznad parabole od same parabole.
Nastavak sledi uskoro. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +2

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod desideri » Nedelja, 16. Oktobar 2016, 19:02

Da nastavim:
[dispmath]\begin{align*}
\frac{\partial S}{\partial a}&=-2\sum_{i=1}^n\left(y_i-ax_i^2-bx_i-c\right)x_i^2=0\\
\frac{\partial S}{\partial b}&=-2\sum_{i=1}^n\left(y_i-ax_i^2-bx_i-c\right)x_i=0\\
\frac{\partial S}{\partial c}&=-2\sum_{i=1}^n\left(y_i-ax_i^2-bx_i-c\right)=0
\end{align*}[/dispmath]
Evidentno je da se množenjem sve tri jednačine redom sa [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] dobija:
[dispmath]a\sum_{i=1}^nx_i^4+b\sum_{i=1}^nx_i^3+c\sum_{i=1}^nx_i{^2}=\sum_{i=1}^ny_ix_i^2[/dispmath][dispmath]a\sum_{i=1}^nx_i^3+b\sum_{i=1}^nx_i^2+c\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^ny_ix_i[/dispmath][dispmath]a\sum_{i=1}^nx_i^2+b\sum_{i=1}^nx_i+c\cdot n=\sum_{i=1}^ny_i[/dispmath]
Ovo je sistem tri linearne jednačine s tri nepoznate. Lako rešiv, a numerički primer iz prakse sledi u sledećem nastavku. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +2

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod desideri » Ponedeljak, 17. Oktobar 2016, 22:03

Evo najpre iskonstruisanog, tj izmišljenog primera od strane mene :)
Jedno preduzeće u nultoj godini ima nula profita.
U prvoj godini ima [inlmath]1[/inlmath] novčanih jedinica profita. (Pazite, jedna novčana jedinica može biti i jedan milion evra, pa vi vidite).
U drugoj godini ima [inlmath]4[/inlmath] novčanih jedinica profita.
U trećoj godini ima [inlmath]9[/inlmath] novčanih jedinica profita.

To znači sledeće:
[inlmath]x_1=0\quad x_2=1\quad x_3=2\quad x_4=3[/inlmath]

[inlmath]y_1=0\quad y_2=1\quad y_3=4\quad y_4=9[/inlmath]

Odavde se lako dobija iz sistema jednačina navedenih u prethodnom postu da je:
[inlmath]a=1\quad b=0\quad c=0[/inlmath]

To znači da je jednačina regresione parabole:
[dispmath]y=x^2[/dispmath]

p.s. Dakle, kada je [inlmath]x[/inlmath] jednako nula, i [inlmath]y[/inlmath] je nula, kada je [inlmath]x[/inlmath] jednako [inlmath]1[/inlmath] onda je [inlmath]y[/inlmath] jednako [inlmath]1[/inlmath], kada je [inlmath]x[/inlmath] jednako [inlmath]2[/inlmath] tada je [inlmath]y[/inlmath] jednako [inlmath]4[/inlmath] i konačno kada je [inlmath]x[/inlmath] jednako [inlmath]3[/inlmath] tada je [inlmath]y[/inlmath] jednako [inlmath]9[/inlmath].

p.p.s To znači da se sve četiri tačke nalaze na paraboli. Kvadrati svih ikseva su ipsiloni, zar ne? Nema odstupanja, ni dole ni gore!

p.p.p.s Građen je autoput Beograd-Niš. Šezdesetih i pedesetih godina prethodnog veka. I upravo zbog nepoznavanja statistike izgrađena je po jedna saobraćajna traka u oba smera. Nakon toga je zbog pogrešne interpolacije trenda (porast broja vozila s godinama), tj pogrešne prognoze nadležnih, moralo da se dogradi još po dve trake u svakom smeru i da se ruši oko trideset nadvožnjaka i ponovo zida, zbog neprimenjivanja matematičke statistike, po mom mišljenju. Jer je to parabola, a ne linearna aproksimacija. Kao što su tamo nekad mislili. Ljudi moji, parabola raste brže, eksponencijalna još brže, ajde da primenimo matematiku, kraljicu svih nauka ovog sveta!
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +2

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod desideri » Subota, 22. Oktobar 2016, 19:16

Ideju za ovaj post mi dade @Ubavic, naš zaslužni forumaš i naš moderator do skora.
Naime, on je na fejsbuk stranici Matemanije objavio jedan ekstra zanimljiv zadatak, evo ovde.
Prelistajte ispod adicionih formula, tu je zadatak. Da ga prepričam, koga mrzi da gleda:

U stadu su 125 ovaca i 5 pasa čuvara. Koliko godina ima pastir?


Naravno da je ovo besmisleno pitanje i ne može se odrediti broj godina pastira na osnovu datih podataka. Ipak, deca (dvanaestak godina cirka) kombinuju data dva broja pa dolaze do toga da je npr. [inlmath]\frac{125}{5}=25[/inlmath] godina pastira, što je besmisleno.
Kao kada bih ja pitao: "Moj otac ima 78 godina. Koliko iznosi Ojlerov broj?"
Naravno, sve pohvale Ubaviću koji me ovim naterao da se zamislim o besmislenosti školstva uopšte, gde decu uče samo i samo šablonima, a ne i kreativnom i logičkom načinu razmišljanja.

Ipak, ja mislim da je zadatak rešiv, i to uz primenu Matematičke statistike. Ne šalim se uopšte.

Evo mog predloga:
Uzme se uzorak od bar par miliona ovaca i odgovarajući (procentualno umanjen) broj pasa i odgovarajući broj pastira. To postoji, npr u Australiji, u Srbiji bi bilo potrebno detaljno istraživanje. Napravi se višestruka regresija i korelacija tipa:
[dispmath]z=a+bx+cy[/dispmath]
Pa se radi po već prikazanom sistemu u ovojoj temi (po metodi najmanjih kvadrata) i odrede se koeficijenti. Naravno da je [inlmath]z[/inlmath] zavisna promenljiva, tj broj pastira a [inlmath]x[/inlmath] kao i [inlmath]y[/inlmath] broj ovaca i broj pasa, respektivno.

Dalje bih pravio intervalnu ocenu za broj pastira koristeći ekstrapolaciju trenda.
No to se ne traži.
Moramo dalje.
Na osnovu broja pastira uz postojanje uzorka o godinama pastira radio bih novu regresiju i novu prognozu, koristeći dobijene rezultate. I dobio bih godine pastira od-do. :)

Ako kažete da je ovo uzaludan posao (jer je skoro nemoguće obezbediti takav uzorak) ja se slažem. Samo sam hteo da dokažem (ako jesam?) da je Matematička statistika uvek, ali uvek primenjiva, čak i kada je zadatak u klasičnom matematičkom smislu besmislen.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +2

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod Daniel » Subota, 22. Oktobar 2016, 20:38

Mali offtopic:
Kada pitanje u nekom zadatku izgleda besmisleno, ne mora značiti da je zaista besmisleno.
U ovom zadatku s ovcama pitanje zaista jeste besmisleno i jedini ispravan odgovor je da nemamo dovoljno podataka.
Međutim, zamislite da imamo zadatak s ocem, majkom i sinom. Ono što je zadato jeste sledeće:
  • majka je tačno [inlmath]26[/inlmath] godina starija od sina;
  • kroz tačno [inlmath]4[/inlmath] godine majka će biti tačno [inlmath]9[/inlmath] puta starija od sina.
Pitanje glasi: gde je otac u ovom trenutku? :shock:

Ako odgovorite da nemate dovoljno podataka – zeznućete se. :D

'Oću da kažem – uvek treba dooobro razmisliti o (ne)logičnosti postavljenog pitanja pre nego što, kô iz puške, odgovorite da je pitanje besmisleno. :)

Sorry za offtopic, morao sam. :) Desideri, možeš nastaviti o najmanjim kvadratima i regresionoj paraboli. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod desideri » Nedelja, 23. Oktobar 2016, 16:02

Evo još nečeg na temu regresione parabole:
Svako odstupanje originalne vrednosti parabole (iz uzorka) tj [inlmath]\; y_i \;[/inlmath] od aritmetičke sredine tj [inlmath]\; \overline {y} \;[/inlmath] jednako je zbiru odstupanja procenjene vrednosti na paraboli [inlmath]\; y_{ri} \;[/inlmath] od aritmetičke sredine i odstupanja originalne vrednosti od procenjene vrednosti što se vidi iz evidentne jednakosti:
[dispmath](y_i-\overline {y})=(y_{ri}-\overline {y})+(y_i-y_{ri})[/dispmath]
Kvadriranjem, sumiranjem i deljem sa [inlmath]n[/inlmath] dobija se:
[dispmath]\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{(y_i-\overline {y})}^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{(y_{ri}-\overline {y})}^2+\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{(y_i-y_{ri})}^2[/dispmath]
Ovde je "dvostruki prvi puta drugi" jednak nuli, znam i taj dokaz, ako treba, postovaću. :)

Leva strana poslednje jednakosti je ukupna disperzija (varijansa) iz uzorka dok je prvi član s desne strane protumačeni deo disperzije a drugi neprotumačeni deo disperzije.
Više o ovome, kao i o indeksu krivolinijske korelacije za parabolu u sledećem postu. :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Gausov metod najmanjih kvadrata za dobijanje jednačina regresione parabole

Postod coa » Nedelja, 23. Oktobar 2016, 17:16

@Daniel
Tata je na mami? :laughing-rolling:
Ako sam dobro izracunao i skontao :D Dobijemo da klinja ima -0,75 godina, tj -9 meseci :D
coa  OFFLINE
 
Postovi: 44
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 17 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 15:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs