Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Dokazivanje nejednakosti indukcijom

Sve što spada u matematiku a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Dokazivanje nejednakosti indukcijom

Postod matija » Nedelja, 08. Januar 2017, 22:28

imam problem sa dva primera
a)
[dispmath]n!>n^{\frac{n}{2}}[/dispmath] krenem od toga da vazi za [inlmath]n[/inlmath] pa obe strane pomnozim sa [inlmath](n+1)[/inlmath] pa sa jedne strane dobijem ono sto mi treba za [inlmath](n+1)![/inlmath] a sa druge transformacijom dobijem
[dispmath](n+1)^{\frac{1}{2}}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{n}{2}}(n+1)^{\frac{n+1}{2}}<(n+1)![/dispmath] problem mi je sto ne zelim da koristim da zagrada u sredini konvergira do [inlmath]\frac{1}{\sqrt{e}}[/inlmath]

b)
[dispmath](2n-1)!<n^{2n-1}[/dispmath] jedino sto mi je palo na pamet jeste deo gde iskoristim IK da dobijem [inlmath](2n+1)!<n^{2n-1}(2n)(2n+1)[/inlmath] ali posto je [inlmath]n^{2n-1}(2n)(2n+1)>n^{2n+1}[/inlmath] nisam siguran sta bih radio dalje
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazivanje nejednakosti indukcijom

Postod Onomatopeja » Nedelja, 08. Januar 2017, 23:32

Oba ova primera se mogu uraditi i bez indukcije (dokaze uz pomoc indukcije ostavljam drugima). Npr, za prvi primer primeti da je data nejednakost ekvivalentna sa [inlmath](n!)^2>n^n[/inlmath], a nju dobijamo ako iskoristimo reprezentaciju [inlmath](n!)^2=\prod_{k=1}^nk(n-k+1)[/inlmath], kao i cinjenicu da je [inlmath]k(n-k+1)\ge n[/inlmath]. Naravno, potrebno je dodatno obrazloziti zasto vazi ova poslednja nejednakost, kao i zasto se tu bar jednom mora pojaviti stroga nejednakost (sto ce nam dati i strogu nejednakost u samoj trazenoj nejednakosti).

Takodje, za drugi primer, dovoljno je primeniti aritmeticko-geometrijsku nejednakost (u opstem slucaju, tj. ne mislim na onu sa dva clana) na [inlmath]\{1,2,\ldots,2n-1\}[/inlmath] i nejednakost sa [inlmath]\le[/inlmath] odmah iskace, ali se takodje (znajuci kad i samo kad vazi jednakost u AG nejednakosti) lako uverava da zapravo imamo strogu nejednakost.

Na kraju, a mozda je trebalo napomenuti i na pocetku, u prvom problemu je [inlmath]n\ge3[/inlmath], a u drugom [inlmath]n\ge2[/inlmath].
 
Postovi: 598
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 565 puta

  • +2

Re: Dokazivanje nejednakosti indukcijom

Postod mala_mu » Ponedeljak, 09. Januar 2017, 00:55

Preko indukcije [inlmath]a)[/inlmath]

Pretpostavimo da vrijedi [inlmath](n!)^2>n^n[/inlmath]
[dispmath]\bigl((n+1)!\bigr)^2=(n!)^2(n+1)^2>n^n(n+1)^2\\
n^n(n+1)^2\ge(n+1)^{n+1}\\
n^n\ge(n+1)^{n-1}\\
\Big(\frac{n}{n+1}\Big)^n\ge\frac{1}{n+1}\\
\Big(1-\frac{1}{n+1}\Big)^n\ge\frac{1}{n+1}[/dispmath] Posljednje vrijedi po Bernulijevoj nejednakosti [inlmath]\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\ge1-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}[/inlmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti indukcijom

Postod Daniel » Ponedeljak, 09. Januar 2017, 08:14

matija je napisao:ali posto je [inlmath]n^{2n-1}(2n)(2n+1)>{\color{red}n}^{2n+1}[/inlmath] nisam siguran sta bih radio dalje

Ali ti treba da dokažeš da je [inlmath]n^{2n-1}(2n)(2n+1)<{\color{red}(n+1)}^{2n+1}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4141 puta

Re: Dokazivanje nejednakosti indukcijom

Postod matija » Ponedeljak, 09. Januar 2017, 11:40

hvala !! pravim bas glupe greske uvece xD
matija  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 21 puta


Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 17:13 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs