Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Sve što spada u matematiku a ne spada u prethodno nabrojane rubrike

Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod korisnicko_ime » Utorak, 06. Jun 2017, 20:13

Odrediti jedan realan pozitivni koren jednačine [inlmath]16x^2+3-\frac{9}{x}=0,\;x\neq 0[/inlmath] metodom sečice sa tačnošću do [inlmath]\epsilon=10^{-2}[/inlmath].

Metoda sečice je definisana sa:
[dispmath]x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.[/dispmath] Za proizvoljnu grešku [inlmath]\epsilon[/inlmath], imamo:
[dispmath]|x_n-x_{n-1}|\le\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}[/dispmath] gde su:
[dispmath]m_1=\min_{x\in[a,b]}|f'(x)|,\;M_1=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.[/dispmath]
Imamo:
[dispmath]f(x)=16x^2+3-\frac{9}{x}\\
f'(x)=32x+\frac{9}{x^2}\\
f''(x)=32-\frac{18}{x^3}[/dispmath] Funkcija [inlmath]f'(x)[/inlmath] je pozitivna za svako [inlmath]x\in\mathbb R[/inlmath].
Funkcija [inlmath]f''(x)[/inlmath] nije uvijek pozitivna.

Prvi slučaj: [inlmath]f'(x)>0,\;f''(x)>0\;\Longrightarrow\;f'(x)f''(x)>0[/inlmath]
Koristimo prvu modifikaciju metode sečice (jer je [inlmath]f'(x)f''(x)>0[/inlmath]):
[dispmath]x_0=a=\frac{3}{4}[/dispmath] Koja je gornja granica, [inlmath]b[/inlmath]? Treba li ispitivati funkciju?
Imamo:
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(b-x_n)}{f(b)-f(x_n)}[/dispmath] Kriterijum stopiranja iteracije je
[dispmath]|x_n-x_{n-1}|\le\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}[/dispmath] Kako pronaći [inlmath]m_1,M_1[/inlmath] (koja je vrednost gornje granice, [inlmath]b[/inlmath])?

U ovom (prvom) slučaju, iteriramo
[dispmath]|x_n-x_{n-1}|\le\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}[/dispmath] dok ovaj uslov nije tačan.

Drugi slučaj: [inlmath]f'(x)>0,\;f'(x)<0[/inlmath]. Koji interval ovde treba razmatrati (koje su vrednosti [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath])?
Ovde je [inlmath]x_0=b[/inlmath] i
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(a-x_n)}{f(a)-f(x_n)}.[/dispmath] Možete li ispraviti postojeće, i dati detaljan postupak ove metode?
Prikačeni fajlovi
jed.rar
Referenca
(176.11 KiB) 20 puta
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod Trougao » Utorak, 06. Jun 2017, 23:51

Pokusacu da pojasnim. Prvo kad dobijes jednacinu radis
1. Lokalizaciju
Nadjes segment [inlmath][a,b][/inlmath] realne prave za koji vazi:
1. [inlmath]f\in C[a,b][/inlmath]
2. [inlmath]f(a)f(b)<0[/inlmath]
3. [inlmath]f[/inlmath] je monotona na [inlmath][a,b][/inlmath]
Ovaj prvi korak se radi da bi se osiguralo da na intervalu [inlmath][a,b][/inlmath] postoji jedinstvena nula.
Segment [inlmath][a,b][/inlmath] trazis odokativnom metodom. Ovde bi to radio tako sto bi nacrtao funkcije [inlmath]f(x)=16x^2+3[/inlmath] i [inlmath]g(x)=\frac{9}{x}[/inlmath] i video bi da se seku na intervalu [inlmath][0,1][/inlmath]. Ali ovde imamo problem jer bi doslo do deljenja nulom pa suzimo interval npr na [inlmath]\Bigl[\frac{1}{2},1\Bigr][/inlmath] i proverimo da li vaze gore ovi uslovi i ako vaze onda cemo na njemu da radimo.
2. Odredimo tacku [inlmath]x_0[/inlmath]
To radis tako sto za krajeve intervala [inlmath][a,b](\Bigl[\frac{1}{2},1\Bigr])[/inlmath] proveris za koji kraj vazi [inlmath]f(x)f''(x)>0[/inlmath]
Tacka [inlmath]x_1[/inlmath] je onda suprotan kraj intervala od onog koji izaberemo za [inlmath]x_0[/inlmath]
Dalje primenjujes formulu.
3. Odredimo broj [inlmath]\delta[/inlmath] takav da [inlmath]|x_n-x_{n-1}|<\delta[/inlmath]
[inlmath]\delta=\sqrt{\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}}[/inlmath]
[inlmath]M_1,m_1[/inlmath] odredjujes na intevalu [inlmath][a,b][/inlmath] koji smo odabrali nikako na celom [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]
Napomena: Uslovi za primenu metode secice moraju da vaze na tom intervalu koji smo odabrali (proveriti). Ovde verovatno vaze na intervalu [inlmath]\Bigl[\frac{1}{2},1\Bigr][/inlmath] jer je zadatak relativno lak i sve funkcije su "fine".

Ove formule koje si dole pisao su za metodu regula-falsi koja je skoro ista kao i metoda secice. Ona ima iste uslove za primenu samo sto je kod nje jedna tacka fiksirana.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod korisnicko_ime » Sreda, 07. Jun 2017, 12:21

Zbog čega se ne dolazi to tačnog rezultata prilikom primene metode sekante čiji ću postupak sada pokazati?

Ako je [inlmath]f[/inlmath] neprekidna funkcija takva da je [inlmath]f(a)>0,\;f(b)<0[/inlmath] tada je [inlmath]f(c)=0[/inlmath] za neko [inlmath]c[/inlmath] između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Metoda sekante aproksimira krivu
[dispmath]y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a).[/dispmath] Ako stavimo da je [inlmath]y=0[/inlmath], dobijamo
[dispmath]x=a-\frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(a).[/dispmath]
Ovde je [inlmath]f(x)=16x^2+3-\frac{9}{x}[/inlmath]. Ako uzmemo [inlmath]x_1=0.1,\;x_2=1[/inlmath], sledi da je [inlmath]f(x_1)<0,\;f(x_2)>0[/inlmath], pa postoji nula na intervalu od [inlmath]0.1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]. Jednačina prave koja prolazi kroz tačke [inlmath]A(0.1,-86.94),\;B(1, 10)[/inlmath] je [inlmath]y=107.7(x-1)+10[/inlmath]. Ako stavimo da je [inlmath]y=0[/inlmath], sledi [inlmath]x=0.9074[/inlmath]. Zaključujemo da postoji nula u intervalu [inlmath]0.1[/inlmath] i [inlmath]0.9074[/inlmath]. Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne naiđemo na dva sukcesivna člana takva da je njihova apsolutna razlika jednaka [inlmath]\epsilon=0.01[/inlmath]. Uzmimo da je ovo prva iteracija postupka. Da li je moguće unaprijed utvrditi broj iteracija?

Druga iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.9074,\;y=115.4(x-0.9075)+6.245,\;y=0,\;x=0.8534[/inlmath]

Treća iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.8534,\;x=0.8194[/inlmath]

Četvrta iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.8194,\;x=0.7973[/inlmath]

Peta iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.7973,\;x=0.7825[/inlmath]

Šesta iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.7825,\;x=0.7724818[/inlmath]

Ovde je apsolutna razlika između [inlmath]x[/inlmath] članova približno jednaka [inlmath]\epsilon=0.01[/inlmath].
Prema ovoj metodi, rešenje je [inlmath]x\approx0.7724\approx0.77[/inlmath].
Međutim, znamo da je jedno realno rešenje jednačine jednako [inlmath]x=0.75[/inlmath].

Ovo mi nije jasno. Da li se iteracija nastavlja, ili je približno rešenje u šestoj iteraciji?

Sedma iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.7724818,\;x=0.7638668[/inlmath]

Osma iteracija
[inlmath]a=0.1,\;b=0.7638668,\;x=0.75966539[/inlmath]

U devetoj iteraciji nastaje greška (dobija se negativno [inlmath]x[/inlmath]).
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod Trougao » Sreda, 07. Jun 2017, 14:56

Ja napisah u prethodnom postu sta treba da se uradi. Ali evo ponovo.
Uslovi su:
1. [inlmath]f(a)f(b)<0[/inlmath]
2. [inlmath]f\in C^1[a,b][/inlmath]
3. [inlmath]\exists f''(x)[/inlmath] na [inlmath][a,b][/inlmath]
4. [inlmath]f',f''[/inlmath] su konstantnog znaka na [inlmath][a,b][/inlmath]
5. [inlmath]x_0[/inlmath] je onaj kraj intervala [inlmath][a,b][/inlmath] za koji vazi [inlmath]f(x)f''(x)>0[/inlmath] a [inlmath]x_1[/inlmath] jedan je suprotni.
Uslovi 1, 2 i 3 su definitivno ispunjeni jer su ovde sve polinomi i racionalne funkcije.
Problem je u uslovu 4.
[dispmath]f'(x)=32x+\frac{9}{x^2}\\
f''(x)=32-\frac{18}{x^3}[/dispmath] [inlmath]f'[/inlmath] je konstantnog znaka i za [inlmath][0.1,\:1][/inlmath] i [inlmath][0.5,\:1][/inlmath] ali [inlmath]f''(x)[/inlmath] nije.
[inlmath]f''(0.1)=32-18\cdot10^3<0[/inlmath] a za [inlmath]f''(1)=32-18>0[/inlmath] znaci metodu secice ne mozes da primenjujes na intervalu [inlmath][0.1,\:1][/inlmath] a ni na [inlmath][0.5,\:1][/inlmath] jer [inlmath]f''[/inlmath] uzima vrednosti razlicitog znaka. Ovde vidis da [inlmath]f''[/inlmath] uzima pozitivnu vrednost za [inlmath]x=1[/inlmath] a negativne za [inlmath]0.1,\:0.5[/inlmath]. Suzimo jos visei interval na npr [inlmath]\Bigl[\frac{3}{4},1\Bigr][/inlmath] Tu [inlmath]f''[/inlmath] uzima pozitivne vrednosti na krajevima intervala i [inlmath]f''[/inlmath] je monotona pa je konstantnog znaka na [inlmath]\Bigl[\frac{3}{4},1\Bigr][/inlmath].
Sto se tice unapred broja iteracija da li se moze utrvditi za metodu secice ja ne znam da postoji neki nacin, kao sto na primer postoji kod metode polovljenja i proste iteracije.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod korisnicko_ime » Sreda, 07. Jun 2017, 18:55

Da li je ovo moje prethodno tačno (rešenje u šestoj iteraciji)?
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod Trougao » Sreda, 07. Jun 2017, 19:58

korisnicko_ime je napisao:[inlmath]y=107.7(x-1)+10[/inlmath]. Ako stavimo da je [inlmath]y=0[/inlmath], sledi [inlmath]x=0.9074[/inlmath].

Ja ovde nisam dobio da je [inlmath]x=0.9074[/inlmath] vec [inlmath]x=0.9071494893[/inlmath]. Ja kad radim metodu regula falsi i metodu secice dobijem resenje u maksimalno 5 koraka tako da si pogresio.
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod korisnicko_ime » Sreda, 07. Jun 2017, 20:01

Da li bi mogao pokazati svoj postupak?
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod Trougao » Sreda, 07. Jun 2017, 20:36

Uslovi za primenu metode regula-falsi ispunjeni na intervalu od [inlmath][0.7,\:1][/inlmath]
[inlmath]f(1)f''(1)>0[/inlmath] sledi [inlmath]x_0=1[/inlmath] a [inlmath]x_1=0.7[/inlmath]
formula glasi:
[inlmath]x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)}[/inlmath]
Prvi korak [inlmath]n=1[/inlmath]
[dispmath]x_2=x_1-f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}\\
x_{2}=0.7-(-2.017143)\frac{0.7-1}{-2.017143-10}=0.750357[/dispmath] Drugi korak [inlmath]n=2[/inlmath]
[dispmath]x_3=x_2-f(x_2)\frac{x_2-x_0}{f(x_2)-f(x_0)}\\
x_3=0.750357-0.014279\frac{0.750357-1}{0.014279-10}=0.750000[/dispmath] I evo vec u drugom koraku smo dobili tacnu vrednost razlika 2 susedne je takodje manja od [inlmath]0.01[/inlmath] ali to je zato sto sam izabrao prilicno uzak interval a ova jednacina ima i racionalno resenje. Samo da napomenem vrednost [inlmath]0.750000[/inlmath] nije bas ta, ima i drugih decimala ali one su dosta "daleko".
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod korisnicko_ime » Sreda, 07. Jun 2017, 22:09

Zašto uzimaš [inlmath]x_0=1,\;x_1=0.7[/inlmath], a ne obrnuto?
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Metoda sečice za pronalaženje korena jednačine

Postod Trougao » Sreda, 07. Jun 2017, 22:30

Celo vreme to pricam. xD
Zato sto kad uzmes [inlmath]f(1)f''(1)>0[/inlmath] a kad uzmes [inlmath]f(0.7)f''(0.7)<0[/inlmath]
Trougao  OFFLINE
 
Postovi: 150
Zahvalio se: 57 puta
Pohvaljen: 105 puta

Sledeća

Povratak na OSTALE OBLASTI MATEMATIKE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 25. Avgust 2019, 08:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs