Odrediti jedan realan pozitivni koren jednačine [inlmath]16x^2+3-\frac{9}{x}=0,\;x\neq 0[/inlmath] metodom sečice sa tačnošću do [inlmath]\epsilon=10^{-2}[/inlmath].
Metoda sečice je definisana sa:
[dispmath]x_{n+1}=x_n-f(x_n)\frac{(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.[/dispmath] Za proizvoljnu grešku [inlmath]\epsilon[/inlmath], imamo:
[dispmath]|x_n-x_{n-1}|\le\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}[/dispmath] gde su:
[dispmath]m_1=\min_{x\in[a,b]}|f'(x)|,\;M_1=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.[/dispmath]
Imamo:
[dispmath]f(x)=16x^2+3-\frac{9}{x}\\
f'(x)=32x+\frac{9}{x^2}\\
f''(x)=32-\frac{18}{x^3}[/dispmath] Funkcija [inlmath]f'(x)[/inlmath] je pozitivna za svako [inlmath]x\in\mathbb R[/inlmath].
Funkcija [inlmath]f''(x)[/inlmath] nije uvijek pozitivna.
Prvi slučaj: [inlmath]f'(x)>0,\;f''(x)>0\;\Longrightarrow\;f'(x)f''(x)>0[/inlmath]
Koristimo prvu modifikaciju metode sečice (jer je [inlmath]f'(x)f''(x)>0[/inlmath]):
[dispmath]x_0=a=\frac{3}{4}[/dispmath] Koja je gornja granica, [inlmath]b[/inlmath]? Treba li ispitivati funkciju?
Imamo:
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(b-x_n)}{f(b)-f(x_n)}[/dispmath] Kriterijum stopiranja iteracije je
[dispmath]|x_n-x_{n-1}|\le\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}[/dispmath] Kako pronaći [inlmath]m_1,M_1[/inlmath] (koja je vrednost gornje granice, [inlmath]b[/inlmath])?
U ovom (prvom) slučaju, iteriramo
[dispmath]|x_n-x_{n-1}|\le\frac{m_1\epsilon}{M_1-m_1}[/dispmath] dok ovaj uslov nije tačan.
Drugi slučaj: [inlmath]f'(x)>0,\;f'(x)<0[/inlmath]. Koji interval ovde treba razmatrati (koje su vrednosti [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath])?
Ovde je [inlmath]x_0=b[/inlmath] i
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(a-x_n)}{f(a)-f(x_n)}.[/dispmath] Možete li ispraviti postojeće, i dati detaljan postupak ove metode?