Definicija algebarskog stepena tačnosti – numerička integracija

PostPoslato: Subota, 17. Jun 2017, 23:16
od korisnicko_ime
Kako se definiše algebarski stepen složenosti u numeričkoj integraciji?

Evo dva primera u kojima se pojavljuje ovaj pojam, pa ako neko može da kroz ove primere objasni značenje ovog pojma, bio bih zahvalan.

1. Odrediti koeficijente [inlmath]A_k,\;k=1,2,3,4[/inlmath] u kvadraturnoj formuli
[dispmath]\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm dx=A_1f(-1)+A_2f(1)+A_3f'(-1)+A_4f(1)+R[/dispmath] tako da ona ima maksimalan mogući algebarski stepen tačnosti. Oceniti grešku, pa primenom dobijene formule izračunati integral [inlmath]\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm dx[/inlmath].

2. Odrediti koeficijente [inlmath]A_1,A_2,A_3[/inlmath] tako da je formula [dispmath]\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)^{-1/2}f(x)\,\mathrm dx=A_1f(-1)+A_2f(0)+A_3f(1)+R_3(f)[/dispmath] tačna za sve algebarske polinome stepena [inlmath]k\le2[/inlmath]. Koliki je algebarski stepen tačnosti?

Re: Definicija algebarskog stepena tačnosti – numerička integracija

PostPoslato: Nedelja, 18. Jun 2017, 21:23
od Miladin Jovic
Verovatno ti neće biti previše korisno, ali hajde da napišem. To nije striktna definicija, nego jednostavno neka beleška koju imam (i ja baš sada spremam tu oblast).
Algebarski stepen tačnosti je najveći stepen polinoma za koji je greška [inlmath]0[/inlmath].
Taj pojam se spominje u definiciji:
Kvadraturna formula [inlmath]\int_a^bf(x)w(x)\,\mathrm dx=\sum\limits_{k=1}^nA_kf(x_k)+R_n(f)[/inlmath] ima algebarski stepen tačnosti [inlmath]d[/inlmath] ako je [inlmath]R_n(f)=0[/inlmath] za svako [inlmath]f\in\Gamma_d[/inlmath], a bar za jedno [inlmath]f[/inlmath] iz [inlmath]\Gamma_{d+1}[/inlmath] važi [inlmath]R_n(f)\ne0[/inlmath], gde je [inlmath]\Gamma_d[/inlmath] skup polinoma stepena manjeg i jednakog od [inlmath]d[/inlmath].