Stranica 1 od 1

Kvadraturna formula - dokaz.

PostPoslato: Subota, 25. Maj 2019, 12:20
od Le Saux
Pozdrav. Kvadraturnu formulu:
[dispmath]\int\limits_{-1}^{1}f(x)\mathrm dx \approx c_1f(- \alpha) + c_2f(\alpha)[/dispmath]

u kojoj je [dispmath]0<\alpha \le1[/dispmath], pretpostavlja se da je tačna za sve polinome prvog stepena.
Dokazati da je [dispmath]c_1=c_2=1[/dispmath] nezavisno od parametra [inlmath]\alpha[/inlmath].
Da li se ovako može dokazati:
[dispmath]\int\limits_{-1}^{1} ax + b \, \mathrm{d}x = 2b[/dispmath]
[dispmath]c_{1}(-a\alpha + b) + c_{2}(a\alpha + b) = (c_{2} - c_{1})a\alpha + (c_{1}+c_{2})b = 2b[/dispmath]
odavde sledi [dispmath]c_1=c_2=1[/dispmath]

Re: Kvadraturna formula - dokaz.

PostPoslato: Subota, 25. Maj 2019, 18:18
od ubavic
Nisi baš lepo postavio zadatak (prva rečenica mi nije jasna), ali mislim da znam šta se tražilo od vas.
Deluje mi da je zadatak dobro urađen.

Re: Kvadraturna formula - dokaz.

PostPoslato: Subota, 25. Maj 2019, 19:05
od Le Saux
Ispustio "Za" na početku rečenice. Hvala na odgovoru.

Re: Kvadraturna formula - dokaz.

PostPoslato: Nedelja, 26. Maj 2019, 22:13
od Le Saux
A na koji način bih mogao, za istu kvadraturnu formulu, dokazati da je za [dispmath]\alpha = \alpha_0[/dispmath]
formula tačna za sve polinome trećeg stepena?

Re: Kvadraturna formula - dokaz.

PostPoslato: Ponedeljak, 27. Maj 2019, 00:25
od ubavic
Uh, morao bih malo da razmislim o ovome, ovo sve pišem iz glave, ali: izrazi integral proizvoljnog polinoma stepena ne većeg od 3, preko koeficijenata tog polinoma. Tako ćeš dobiti sistem jednačina tri nepoznate [inlmath]\alpha, c_1, c_2[/inlmath] koji zatim trebaš da rešiš (u ovom slučaju se dobija [inlmath]\alpha=1/\sqrt{3}[/inlmath], i [inlmath]c_1=c_2=1[/inlmath] ). Alternativno, i mnogo jednostavnije, po nekoj lemi dovoljno je da kvadraturna formula važi samo za polinome oblika [inlmath]x^k[/inlmath] gde je [inlmath]0\le k \le 3[/inlmath] (ovo se lako dokazuje, čak je i očigledno). Probaj, pa javi kako ide.

I generalno, za kvadraturne formule Gausovog tipa (kvadraturne formule u kojima se i čvorovi interpolacije biraju tako da formula bude tačna za polinome što većeg stepena), dovoljno je naći integrale polinoma [inlmath]x^k[/inlmath], gde je [inlmath]0\le k \le 2n-1[/inlmath] gde je [inlmath]n[/inlmath] broj čvorova interpolacije, i rešiti sistem koji se tom prilikom dobija. Kod Njutn-Kotesovih formula, čvorovi interpolacije se ne biraju, i potrebno je postaviti sistem od samo [inlmath]n[/inlmath] uslova (iz kojih se dobijaju koeficijenti [inlmath]c_i[/inlmath]...).