Ovo je jedan od retkih slučajeva na forumu gde korisnik traži probleme (matematičke, naravno), umesto što traži samo rešenja. To izuzetno cenim.
Za početak, napomenuo bih da se dvostruki vektorski proizvod na engleskom naziva
vector triple product (a ne
vector double product kako bi neko očekivao). Možda će ovo pomoći nekom prilikom dalje pretrage....
Dva klasična identiteta koja koriste dvostruki vektorski proizvod su Lagranžov i Jakobijev identitet:
[dispmath]\begin{array}{lr}
(\vec{x}\times\vec{y})\times\vec{z}=(\vec{x}\cdot\vec{z})\;\vec{y}-(\vec{y}\cdot\vec{z})\;\vec{x} & \text{Lagrange}\\
(\vec{x}\times\vec{y})\times\vec{z}+(\vec{y}\times\vec{z})\times\vec{x}+(\vec{z}\times\vec{x})\times\vec{y}=\vec{0} & \text{Jacobi}
\end{array}[/dispmath]
Možeš pokušati da dokažeš ova dva identiteta. Malo uputstvo: prvo dokaži Lagranžov, on je teži za dokaz ali ćeš iz njega lako izvesti Jakobijev. Nakon toga možeš pokušati sa ovim zadatkom:
Koje uslove moraju da ispunjavaju vektori [inlmath]\vec x,\vec y,\vec z\in\mathbb{E}^3[/inlmath], čiji su intenziteti različiti od nule, da bi važilo [inlmath](\vec{x}\times\vec{y})\times\vec{z}=\vec{x}[/inlmath]?
Prilikom rada sa dvostrukim vektorskim proizvodom obrati pažnju na postavljanje zagrada i redosled vektora (negde se gorenavedeni identiteti zapisuju u malo drugačijem obliku). Možeš i da potražiš za koje vektore će vektorski proizvod biti asocijativan, odnosno komutativan.
Koliko znam, dvostruki vektorski proizvod se retko koristi u srednjoškolskoj geometriji (ili na kursu
Geometrija 1). Otuda i mali broj zadataka sa ovom operacijom. Dvostruki proizvod ima primenu u analizi više promenljivih.
Ipak dva navedena identiteta nose neko geometrijsko značenje. Lagranžov identitet nam govori da se rezultat dvostrukog proizvoda tri vektora nalazi u ravni određenoj sa prva dva vektora. Direktno iz toga sledi Jakobijev identitet (na tebi ostaje da vidiš zašto i kako). O nekim drugim interpretacijama Jakobijevog identiteta možeš pročitati
ovde i
ovde.
Inače, Jakobijev identitet na neki način predstavlja zamenu za asocijativni zakon i koristi se i van geometrije. Za vektorske prostore koji imaju alternirajući bilinearni proizvod koji zadovoljava Jakobijev identitet, kažemo da su
Lijeve algebre. Euklidski trodimenzionalni prostor zajedno sa vektorskim množenjem, čini jednu Lijevu algebru.