Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI VEKTORI

Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

[inlmath]\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\cdot\left|\vec b\right|\cdot\cos\angle\left(\vec a,\vec b\right)[/inlmath]

Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

Postod Subject » Sreda, 22. Novembar 2017, 18:09

Interesuje me da li ima neko neki blanket, ili bilo kakve zadatke gde se primenjuje dvostruki vektorski proizvod, to je:
[dispmath]\vec a\times\left(\vec b\times\vec c\right)[/dispmath] Bilo kakvi zadaci su dobrodosli, ja sam inace pokusao da trazim po internetu, ali bezuspesno...
Ovo mi je potrebno jer hocu da prosirim svoje znanje iz ove oblasti, a nemam bas potrebnu literaturu. :think1:
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

Postod ubavic » Petak, 24. Novembar 2017, 21:13

Ovo je jedan od retkih slučajeva na forumu gde korisnik traži probleme (matematičke, naravno), umesto što traži samo rešenja. To izuzetno cenim.

Za početak, napomenuo bih da se dvostruki vektorski proizvod na engleskom naziva vector triple product (a ne vector double product kako bi neko očekivao). Možda će ovo pomoći nekom prilikom dalje pretrage....
Dva klasična identiteta koja koriste dvostruki vektorski proizvod su Lagranžov i Jakobijev identitet:

[dispmath]\begin{array}{lr}
(\vec{x}\times\vec{y})\times\vec{z}=(\vec{x}\cdot\vec{z})\;\vec{y}-(\vec{y}\cdot\vec{z})\;\vec{x} & \text{Lagrange}\\
(\vec{x}\times\vec{y})\times\vec{z}+(\vec{y}\times\vec{z})\times\vec{x}+(\vec{z}\times\vec{x})\times\vec{y}=\vec{0} & \text{Jacobi}
\end{array}[/dispmath]

Možeš pokušati da dokažeš ova dva identiteta. Malo uputstvo: prvo dokaži Lagranžov, on je teži za dokaz ali ćeš iz njega lako izvesti Jakobijev. Nakon toga možeš pokušati sa ovim zadatkom:
Koje uslove moraju da ispunjavaju vektori [inlmath]\vec x,\vec y,\vec z\in\mathbb{E}^3[/inlmath], čiji su intenziteti različiti od nule, da bi važilo [inlmath](\vec{x}\times\vec{y})\times\vec{z}=\vec{x}[/inlmath]?

Prilikom rada sa dvostrukim vektorskim proizvodom obrati pažnju na postavljanje zagrada i redosled vektora (negde se gorenavedeni identiteti zapisuju u malo drugačijem obliku). Možeš i da potražiš za koje vektore će vektorski proizvod biti asocijativan, odnosno komutativan.

Koliko znam, dvostruki vektorski proizvod se retko koristi u srednjoškolskoj geometriji (ili na kursu Geometrija 1). Otuda i mali broj zadataka sa ovom operacijom. Dvostruki proizvod ima primenu u analizi više promenljivih.
Ipak dva navedena identiteta nose neko geometrijsko značenje. Lagranžov identitet nam govori da se rezultat dvostrukog proizvoda tri vektora nalazi u ravni određenoj sa prva dva vektora. Direktno iz toga sledi Jakobijev identitet (na tebi ostaje da vidiš zašto i kako). O nekim drugim interpretacijama Jakobijevog identiteta možeš pročitati ovde i ovde.

Inače, Jakobijev identitet na neki način predstavlja zamenu za asocijativni zakon i koristi se i van geometrije. Za vektorske prostore koji imaju alternirajući bilinearni proizvod koji zadovoljava Jakobijev identitet, kažemo da su Lijeve algebre. Euklidski trodimenzionalni prostor zajedno sa vektorskim množenjem, čini jednu Lijevu algebru.
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 478
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 323 puta
Pohvaljen: 459 puta

Re: Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

Postod Subject » Subota, 25. Novembar 2017, 13:13

Zahvaljujem ti puno na ovome, dobro je sto si mi dao ideju da potrazim na stranim jezicima, jer mene je konkretno interesovalo resavanje racunskih zadatka. Dakle date su neke vrednosti, odrediti to i to, itd... A ovo dokazivanje iskoristicu da shvatim tu logiku iza ove operacije, jer vidim da za razlicita mesta zagrada sa leve strane jednakosti, vaze drugaciji skalarni proizvodi sa desne. Ako sam dobro razumeo [inlmath]Jacobi[/inlmath]-jev identitet?

Inace, nisam bas razumeo taj deo da dvostruki vektorski proizvod prestavlja skalarnu vrednost? (Kazem skalarnu jer vidim da se vektori sa desne strane jednakosti skalarno mnoze, sto kao svoje resenje daje neku brojnu vrednost.) Jer vektorskim proizvodom dva vektora dobijemo vektor, a dvostrukim vektorskim proizvodom dobija se isto vektor jel?
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

  • +1

Re: Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

Postod ubavic » Subota, 25. Novembar 2017, 13:25

Koliko se meni čini, tebe buni Lagranžov identitet. Tačno je da se na desnoj strani jednakosti vektori skalarno množe. Ali zatim se taj skalar množi vektorom što daje ponovo vektor. Obrati pažnju da nisam koristio tačku između vektora i zagrade u Lagranžovoj jednakosti.

U Jakobijevom identitetu nemaš skalarnog množenja, niti množenja skalarom.
Korisnikov avatar
ubavic   ONLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 478
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 323 puta
Pohvaljen: 459 puta

Re: Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

Postod Subject » Subota, 25. Novembar 2017, 13:29

Daa, vidim. Bilo mi je na umu da mnozenje se moze pisati bez i sa tackom, i zato nisam odma razumeo taj deo. Dobro, sad je sve u redu.

Sto se tice Jacobijevog identiteta, slazem se da nema skalarnih proizvoda, nego drugo je meni bilo na umu sto ima veze sa ovim gore sto sam napisao.
Ali ne bih sad da objasnjavam... :whistle:
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"The right man in the wrong place can make all the difference in the world." - G.Man
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 32
Lokacija: Nis
Zahvalio se: 17 puta
Pohvaljen: 17 puta

Re: Zadaci iz dvostrukog vektorskog proizvoda

Postod Daniel » Ponedeljak, 27. Novembar 2017, 06:50

ubavic je napisao:Lagranžov identitet nam govori da se rezultat dvostrukog proizvoda tri vektora nalazi u ravni određenoj sa prva dva vektora.

Dodao bih samo da se to može uočiti i iz osnovnog izraza za dvostruki vektorski proizvod – istina, malo je manje očigledno nego iz Lagranžovog identiteta.

Naime, neka je [inlmath]\vec p[/inlmath] vektor koji predstavlja dvostruki vektorski proizvod: [inlmath]\vec p=\left(\vec x\times\vec y\right)\times\vec z[/inlmath]. Pošto je vektorski proizvod dva vektora novi vektor koji je normalan na svaki od ta dva vektora, to će vektorski proizvod [inlmath]\left(\vec x\times\vec y\right)[/inlmath] biti vektor normale ravni određene vektorima [inlmath]\vec x[/inlmath] i [inlmath]\vec y[/inlmath]. Pošto je, opet, [inlmath]\vec p[/inlmath] normalan i na [inlmath]\left(\vec x\times\vec y\right)[/inlmath] i na [inlmath]\vec z[/inlmath], iz njegove normalnosti na vektor normale [inlmath]\left(\vec x\times\vec y\right)[/inlmath] sledi (zamisli sliku u prostoru) da će on biti paralelan s ravni određenom vektorima [inlmath]\vec x[/inlmath] i [inlmath]\vec y[/inlmath], tj. biće komplanaran s ta dva vektora.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6717
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3516 puta
Pohvaljen: 3699 puta


Povratak na VEKTORI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 11 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Decembar 2017, 17:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs