Da li neko mi moze pojasniti kaka je to vektor linearno nezavisan a kada linearno zavisni? U nedoumici sam jer mislim da znam a kad hocu da odredim to za neke vektore onda vidim da ne znam.
Reicmo, imam zadatak da zakljucim da li su sledeci vektori linearno zavisi ili nezavisni;
[inlmath](1,4,3,2),\:(1,4,4,0),\:(-1,-4,-6,4)[/inlmath]. U slucaju ako su oni zavisi da se odredi linearnekombinacije (sto ni to ne znam da valjano uradim).

Vektori su linearno zavisni ako postoje skalari [inlmath]\alpha_1,\:\alpha_2,\:\alpha_3[/inlmath] takvi da je bar jedan od njih različit od nule, pri čemu je:
[dispmath]\alpha_1\vec{v_1}+\alpha_2\vec{v_2}+\alpha_3\vec{v_3}=0[/dispmath] (ovo se moze uopštiti i na slučaj sa [inlmath]n[/inlmath] vektora).

Tebi su data ova tri vektora:
[dispmath](1,4,3,2),\:(1,4,4,0),\:(-1,-4,-6,4)[/dispmath] Pa je onda:
[dispmath]\alpha_1(1,4,3,2)+\alpha_2(1,4,4,0)+\alpha_3(-1,-4,-6,4)=0[/dispmath] Odatle dobijaš sledeći sistem:
[dispmath]\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0\\
4\alpha_1+4\alpha_2-4\alpha_3=0\\
3\alpha_1+4\alpha_2-6\alpha_3=0\\
2\alpha_1+4\alpha_3=0[/dispmath] Druga jednačina se deljenjem sa [inlmath]4[/inlmath] svodi na prvu, i stoga je ovo dalje moguće svesti na sledeći sistem:
[dispmath]\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0\\
3\alpha_1+4\alpha_2-6\alpha_3=0\\
\alpha_1+2\alpha_3=0[/dispmath] Trivijalno rešenje ovog sistema je [inlmath](\alpha_1,\:\alpha_2,\:\alpha_3)=(0,0,0)[/inlmath], međutim ono nama trenutno ne znači... Tebi prepuštam da rešiš ovaj sistem, metodom kojom želiš.

Ako se dobije da sistem ima i netrivijalnih rešenja (tj. da postoji bar jedno [inlmath]\alpha_i\neq 0,\:i=1,2,3[/inlmath]) tada su ovi vektori linearno zavisni.
Ako dobiješ da ne postoje takvi skalari, onda su vektori linearno nezavisni.

Ako te interesuje geometrijsko značenje linearne (ne)zavisnosti vektora, sistem je linearno nezavisan ako se nijedan od vektora ne može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora. Na primer, ako posmatramo dva vektora u ravni, oni će biti linearno nezavisni ako nisu kolinearni. Ako su kolinearni, onda su linearno zavisni, jer se svaki od ta dva vektora može prikazati kao umnožak onog drugog. Ako posmatramo tri vektora u 3d-prostoru, oni će biti linearno nezavisni ako ne pripadaju svi jednoj istoj ravni. Ako svi pripadaju istoj ravni, znači da se bar jedan od ta tri vektora može predstaviti kao linearna kombinacija preostala dva, prema tome, nisu linearno nezavisni.

U slučaju da u [inlmath]n[/inlmath]-dimenzinalnom prostoru imamo sistem od [inlmath]m[/inlmath] vektora, pri čemu je [inlmath]m>n[/inlmath], onda je taj sistem sigurno linearno zavisan. Na primer, neka u ravni imamo dva nekolinearna vektora (koji, samim tim, čine linearno nezavisan sistem). Dodavanjem trećeg vektora u tu ravan, sistem će postati linearno zavisan jer se taj treći vektor može predstaviti kao linearna kombinacija prethodna dva. Takođe, u 3d-prostor u kojem se već nalaze tri linearno nezavisna vektora ne možemo dodati četvrti vektor koji neće moći biti predstavljen kao linearna kombinacija preostala tri, prema tome, u 3d-prostoru nije moguć sistem od četiri (ili više) linearno nezavisna vektora.

Ako je [inlmath]m\le n[/inlmath], tj. ako broj vektora u nekom prostoru nije veći od broja dimenzija tog prostora, to još uvek ne znači da je taj sistem linearno nezavisan (primeri: dva kolinearna vektora u ravni, dva ili tri kolinearna vektora u 3d-prostoru, tri komplanarna vektora u 3d-prostoru...) već je u tom slučaju potrebno njihovu linearnu (ne)zavisnost ispitati na način koji ti je Milovan pokazao.

Hvala vam ljudi

samo jedno pitanje, kada su onda vektori komplanarni? i da li komplanarnost ima veze sa linearnom (ne)zavisnosti ?

Vektori su komplanarni kad postoji jedna ravan koja ih sadrži. Dva vektora su uvek međusobno komplanarna. Već kad imamo tri komplanarna vektora, taj sistem će biti linearno zavisan, jer, ako su sva tri vektora međusobno nekolinearna (prvi slučaj), onda će svaki od tih vektora biti moguće predstaviti kao linearnu kombinaciju preostala dva vektora pa će sistem biti linearno zavisan, a ako su neka od ta tri vektora međusobno kolinearna (drugi slučaj), tada su oni sami po sebi linearno zavisni jedan od drugog, pa je i sistem opet linearno zavisan.

Da li su tri vektora komplanarna ili ne, možeš ispitati pomoću njihovog mešovitog proizvoda – ako je mešovit proizvod različit od nule, onda nisu komplanarni, a ako je jednak nuli, onda jesu komplanarni. To je i logično, pošto mešovit proizvod predstavlja zapreminu paralelepipeda nad tim vektorima, a ako su vektori u jednoj ravni – zapremina takvog „paralelepipeda“ je, normalno, jednaka nuli.

Pozdrav!
Imam ova tri vektora:

[inlmath]\vec{v_1}=(1,0)\\
\vec{v_2}=(0,1)\\
\vec{v_3}=(1,2)[/inlmath]

Rjesavajuci sistem dolazim do:

[inlmath]2\cdot s_1=s_2\\
s_1=-s_3[/inlmath]

Ja mislim da su onda linearno zavisni, ali nisam sigurna? Hvala.

Da, linearno su zavisni, jer postoji netrivijalno rešenje ovog sistema, [inlmath]\left(s_1,s_2,s_3\right)\ne\left(0,0,0\right)[/inlmath]. Zapravo, postoji beskonačno mnogo takvih netrivijalnih rešenja. Nepoznatoj [inlmath]s_1[/inlmath] pridružiš bilo koju realnu nenultu vrednost [inlmath]\lambda[/inlmath], a preostale dve promenljive izraziš preko nje: [inlmath]\left(s_1,s_2,s_3\right)=\left(\lambda,2\lambda,-\lambda\right)[/inlmath]. Znači, za npr. [inlmath]\lambda=1[/inlmath], biće [inlmath]\left(s_1,s_2,s_3\right)=\left(1,2,-1\right)[/inlmath]; za npr. [inlmath]\lambda=3[/inlmath] biće [inlmath]\left(s_1,s_2,s_3\right)=\left(3,6,-3\right)[/inlmath] itd.

Ali, ovde uopšte nije bilo potrebe za tim računom. Pročitaj još jednom ono što sam napisao u trećem postu ove teme,

Daniel je napisao:U slučaju da u [inlmath]n[/inlmath]-dimenzinalnom prostoru imamo sistem od [inlmath]m[/inlmath] vektora, pri čemu je [inlmath]m>n[/inlmath], onda je taj sistem sigurno linearno zavisan. Na primer, neka u ravni imamo dva nekolinearna vektora (koji, samim tim, čine linearno nezavisan sistem). Dodavanjem trećeg vektora u tu ravan, sistem će postati linearno zavisan jer se taj treći vektor može predstaviti kao linearna kombinacija prethodna dva. Takođe, u 3d-prostor u kojem se već nalaze tri linearno nezavisna vektora ne možemo dodati četvrti vektor koji neće moći biti predstavljen kao linearna kombinacija preostala tri, prema tome, u 3d-prostoru nije moguć sistem od četiri (ili više) linearno nezavisna vektora.

Uoćiš da je ovde u pitanju dvodimenzinalni prostor (jer je svaki vektor dat sa svoje dve komponente), kao i da imamo tri vektora. A pošto je broj vektora veći od broja dimenzija, sistem je sigurno linearno zavisan.
Dakle, tri vektora u jednoj ravni – upravo slučaj koji sam u tom postu i naveo kao primer.

Zdravo! Da se nadovežem kako ne bih otvarala novu temu.

Naime, jasno mi je kako se ispituje linearna nezavisnost, ali imam zadatak u kome kaže da ispitam linearnu nezavisnost u vektorskom prostoru [inlmath](R[x],R,+,*)[/inlmath] vektora [inlmath]a=x+1[/inlmath], [inlmath]b=x[/inlmath], [inlmath]c=x^2[/inlmath], [inlmath]d=x^2-x+1[/inlmath].
Imam rješenje, ali ne razumijem kako da ove vektore napišem kao uređene trojke?

Ne vidim zašto bi ih morala pisati kao uređene trojke. Kreneš od same definicije (ne)zavisnih vektora, i ne bi trebalo da bude problema.

Boba R. je napisao:Imam rješenje,

Podsetio bih te na tačku 11. Pravilnika:

Ako očekujete da Vam se pomogne, neophodno je da, sa svoje strane, pružite sve potrebne podatke, kako oni koji žele da Vam pomognu ne bi „gledali u pasulj“ i lupali glavu „šta je pisac hteo da kaže“. Čak i kada tražite pomoć samo za deo zadatka, obavezno postavite osnovni tekst zadatka. Takođe, ako imate krajnji rezultat koji treba da se dobije, napišite i njega. Zadaci i pitanja koji su nejasno formulisani, u kojima nedostaju bitni podaci i koji se mogu shvatiti na dva ili više načina – biće uklonjeni.